Representar num mesmo sistema de coordenadas as retas:
\left\{\begin{array}{l}y=2 x+5, \quad x \geq 0 \\\ y=3 x, x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: representar no mesmo sistema de coordenadas as retas dadas, mas restritas ao domínio x\geq0. As informações fornecidas são:
  • Primeira reta: y=2x+5 com domínio x\geq0.
  • Segunda reta: y=3x com domínio x\geq0.
O que se espera no final: desenhar as duas retas no mesmo plano cartesiano, respeitando que só devemos traçar a parte de cada reta onde x\geq0 (ou seja, cada uma será um semi-risco/raio para a direita a partir de x=0).

Passo 2

Entendendo a forma y=mx+b (slope-intercept):
  • m é a inclinação (slope): indica quanto y varia quando x aumenta de 1 (ou seja, “subida” por unidade horizontal).
  • b é a ordenada na origem (intercepto): valor de y quando x=0.
Aplicando às duas retas:
  • Para y=2x+5: \,m=2 e \,b=5. Isso significa que ao aumentar x em 1, y aumenta em 2; quando x=0, y=5.
  • Para y=3x: \,m=3 e \,b=0. Isso significa subida de 3 para cada +1 em x; quando x=0, y=0.
Lembrete prático: para desenhar uma reta é suficiente marcar dois pontos distintos e traçar a linha passando por eles (aqui, traçar só para x\geq0).

Passo 3

Escolher pontos fáceis para y=2x+5 (todos com x\geq0):
  • Para x=0: y=2\cdot0+5=5. Logo ponto (0,5).
  • Para x=1: y=2\cdot1+5=7. Logo ponto (1,7).
  • Para x=5: y=2\cdot5+5=15. Logo ponto (5,15) — este ponto será útil (interseção, como veremos).
Marque no papel os pontos (0,5), (1,7) e (5,15). Como são colineares, trace a reta passando por eles, porém apenas a parte com x\geq0 (ou seja, um raio começando em x=0 e indo para a direita).

Passo 4

Escolher pontos fáceis para y=3x (com x\geq0):
  • Para x=0: y=3\cdot0=0. Ponto (0,0).
  • Para x=1: y=3\cdot1=3. Ponto (1,3).
  • Para x=5: y=3\cdot5=15. Ponto (5,15) — mesmo ponto que apareceu antes.
Marque (0,0), (1,3) e (5,15). Trace a reta passando por esses pontos, novamente somente para x\geq0.

Passo 5

Calcular a interseção das duas retas (ponto em que os y são iguais):
2x+5=3x
Isolando x:
5=3x-2x \quad\Rightarrow\quad 5=x.
Logo x=5. Substituindo em qualquer uma:
y=3\cdot5=15.
Portanto o ponto de interseção é (5,15). Como x=5\geq0, esse ponto pertence às duas partes desenhadas.

Passo 6

Instruções práticas finais para desenhar corretamente:
  • Desenhe eixos x e y. Escolha uma escala (por exemplo 1 unidade no papel = 1 no plano) suficiente para alcançar x=5 e y=15.
  • Marque os pontos importantes: (0,0), (0,5), (1,3), (1,7), (5,15).
  • Trace:
    • O raio da reta y=2x+5 começando em (0,5) e passando por (1,7) e (5,15), estendendo-se para a direita (apenas x\geq0).
    • O raio da reta y=3x começando em (0,0) e passando por (1,3) e (5,15), estendendo-se para a direita (apenas x\geq0).
  • Observe que, para 0\leq x<5, y=2x+5 está acima de y=3x (por exemplo em x=0, 5>0), e para x>5 a reta y=3x fica acima (por exemplo em x=6: y=2\cdot6+5=17 e y=3\cdot6=18, então 18>17). Isso confirma visualmente a interseção em (5,15).

Resposta

A representação pede dois raios (cada reta restrita a x\geq0) no mesmo plano:
  • Para y=2x+5 com x\geq0: raio que passa por (0,5), (1,7) e (5,15); inclinação 2.
  • Para y=3x com x\geq0: raio que passa por (0,0), (1,3) e (5,15); inclinação 3.
  • As duas partes se intersectam no ponto (5,15).

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