Represente na forma algébrica os seguintes números complexos:
\left(\frac{1}{i}+\frac{3}{1+i}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma algébrica (isto é, na forma a+bi) o número complexo
\left(\frac{1}{i}+\frac{3}{1+i}\right)^{2}.
Para isso vamos usar operações básicas com números complexos: divisão (racionalização de denominador), soma e elevação ao quadrado.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{1}{i}. Racionalizando o denominador:
\frac{1}{i} \;=\;\frac{1}{i}\,\cdot\frac{-i}{-i} \;=\;\frac{-i}{-i^{2}} \;=\;\frac{-i}{-(-1)} \;=\;-\,i.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{3}{1+i}. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1-i:
\frac{3}{1+i} \;=\;\frac{3(1-i)}{(1+i)(1-i)} \;=\;\frac{3(1-i)}{1 - i^{2}} \;=\;\frac{3(1-i)}{1 - (-1)} \;=\;\frac{3(1-i)}{2} \;=\;\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\,i.

Passo 4

Somar os dois resultados:
\frac{1}{i}+\frac{3}{1+i} \;=\;-\,i \;+\;\Bigl(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\,i\Bigr) \;=\;\frac{3}{2} \;-\;\bigl(1+\tfrac{3}{2}\bigr)i \;=\;\frac{3}{2} \;-\;\frac{5}{2}\,i.

Passo 5

Elevar ao quadrado o resultado da soma. Seja z=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}i. Então
z^{2} =\Bigl(\frac{3}{2}-\frac{5}{2}i\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{2}-\Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} -2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\,i =\frac{9}{4}-\frac{25}{4}-\frac{15}{2}\,i =-4-\frac{15}{2}\,i.

Resposta

-4-\frac{15}{2}\,i

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