Represente os números decimais no sistema binário, precisão simples ponto flutuante, mostrando
  • Representação em notação científica ( por exemplo 0,125=1,0 * 2^{-3} )
  • Representação de 32 bits de ponto flutuante da IEEE
    86,5625

Passo 1

O enunciado pede para converter o número decimal 86,5625 em duas formas de ponto flutuante: primeiro escrevê-lo em binário na forma normalizada (científica) \pm1.\text{mantissa}_2\times2^{\text{expoente}} e depois montar os 32 bits segundo o padrão IEEE 754 (sim, precisamos do bit de sinal, dos 8 bits do expoente com bias 127 e dos 23 bits da mantissa). Para isso vamos: converter a parte inteira e a parte fracionária para binário, normalizar, achar o expoente com bias e preencher a mantissa.

Passo 2

Converter a parte inteira 86_{10} para binário dividindo por 2:
86\div2=43\\ \text{(resto 0)},\quad43\div2=21\\ \text{(resto 1)},\;21\div2=10\\ \text{(resto 1)},\;10\div2=5\\ \text{(resto 0)},
5\div2=2\\ \text{(resto 1)},\;2\div2=1\\ \text{(resto 0)},\;1\div2=0\\ \text{(resto 1)}.
Lendo os restos de baixo para cima,
86_{10}=1010110_2.

Passo 3

Converter a parte fracionária 0,5625_{10} multiplicando por 2 até ficar exata:
0{,}5625\times2=1{,}125\quad(\text{bit }1),\quad0{,}125\times2=0{,}25\quad(\text{bit }0),
0{,}25\times2=0{,}5\quad(\text{bit }0),\quad0{,}5\times2=1{,}0\quad(\text{bit }1).
Logo
0{,}5625_{10}=0{,}1001_2.

Passo 4

Juntando as partes,
86{,}5625_{10}=1010110{,}1001_2.
Para normalizar, deslocamos o ponto até ficar um único 1 antes dele:
1010110{,}1001_2 = 1{,}0101101001_2\times2^6,
pois deslocamos o ponto 6 posições à esquerda.

Passo 5

O expoente “verdadeiro” é 6. No padrão IEEE 754 de precisão simples o expoente gravado é
E = 6 + 127 = 133_{10},
e em binário de 8 bits
133_{10}=10000101_2.

Passo 6

A mantissa são os bits após o ponto da forma normalizada, completados com zeros até 23 bits:
\text{mantissa}=0101101001\underbrace{0000000000000}_{13\text{ zeros}}.

Passo 7

O número é positivo, logo o bit de sinal é 0.

Resposta

Em notação científica binária:
86{,}5625_{10} = 1{,}0101101001_2 \times 2^6.
Em IEEE 754 (32 bits):
0\;10000101\;01011010010000000000000.

Exercícios relacionados