Resolva a equação z^2+(1+i) z+(1-i)=0 no conjunto dos números complexos.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que resolver a equação
z^2 + (1+i),z + (1 - i) = 0
isso é uma equação do segundo grau, só que em vez de trabalhar com números reais, aqui é um número complexo.
O que vamos usar:
  1. Fórmula de Bhaskara (quadrática) para coeficientes complexos;
  2. Como calcular o discriminante ;
  3. Como extrair a raiz quadrada de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula de Bhaskara:
z = -b pm raizDe
No nosso caso , e .

Passo 3

Vamos achar o discriminante De:
De
Calcula passo a passo:
(1) .
(2) .
Então

Passo 4

Agora precisamos de raizu + iv ;=;pml(raizR+u2 ;+; i,sgn(v),raizR-u2r), .
Para extrair raiz de um complexo R = raiz(-4)^2 + 6^2 = raiz16 + 36 = raiz52 = 2raiz13 , a gente usa a fórmula:
raiz-4 + 6i = pml(raiztfrac2raiz13 - 42 ;+; i,raiztfrac2raiz13 + 42r) = pml(raizraiz13 - 2 + i,raizraiz13 + 2r)
onde .
Aqui , , então
Daí

Passo 5

Agora aplica Bhaskara:
z = -(1+i)pml(raizraiz13-2 + i,raizraiz13+2r)2
Aí a gente separa o “ ” e o “ ”, ficando:
z₁ = ,
z₂ = .

Resposta

As soluções da equação são
boxed z1 = -1 + raizraiz13-22 ;+; i,-1 + raizraiz13+22, z2 = -1 - raizraiz13-22 ;+; i,-1 - raizraiz13+22

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