Seja f(x)=(4.6) x-tan (x). Determine a primeira raiz negativa de f(x) usando o Método das Secantes, com epsilon=0.01.

Passo 1

O problema pede a primeira raiz negativa de f(x)=4.6x−tan(x) usando o método das secantes com tolerância ε=0.01. Vamos aplicar um método numérico de raiz que não usa derivada, só avaliações de f e a fórmula da secante.

Passo 2

O método das secantes gera novas aproximações pela fórmula
xk+1=xk - f(xk)xk - xk-1f(xk)-f(xk-1)
A cada passo calculamos f em dois pontos e usamos essa expressão até que |x_{k+1}−x_k|<ε.

Passo 3

Precisamos de dois chutes iniciais próximos à raiz. Observando o comportamento de tan(x) e testando valores, vemos que f(−1.5)≈7.2>0 e f(−1.4)≈−0.77<0, ou seja, há mudança de sinal em [−1.5,−1.4]. Então escolhemos x₀=−1.5 e x₁=−1.4.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da secante com os valores iniciais:
x2 = -1.4 , -0.77-1.4 - (-1.5)-0.77 - 7.2 approx -1.40966
Calculamos também f(x₂)≈−0.102.

Passo 5

Verificamos o critério de parada: |x₂−x₁|=|−1.40966−(−1.4)|≈0.00966<0.01. Como a diferença entre iterações já é menor que ε, paramos aqui e adotamos x₂ como raiz approximada.

Resposta

A primeira raiz negativa aproximada é x≈−1.41.

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