Seja
. Determine a primeira raiz negativa de
usando o Método das Secantes, com
.
Passo 1
O problema pede a primeira raiz negativa de f(x)=4.6x−tan(x) usando o método das secantes com tolerância ε=0.01. Vamos aplicar um método numérico de raiz que não usa derivada, só avaliações de f e a fórmula da secante.
Passo 2
O método das secantes gera novas aproximações pela fórmula
A cada passo calculamos f em dois pontos e usamos essa expressão até que |x_{k+1}−x_k|<ε.
Passo 3
Precisamos de dois chutes iniciais próximos à raiz. Observando o comportamento de tan(x) e testando valores, vemos que f(−1.5)≈7.2>0 e f(−1.4)≈−0.77<0, ou seja, há mudança de sinal em [−1.5,−1.4]. Então escolhemos x₀=−1.5 e x₁=−1.4.
Passo 4
Aplicamos a fórmula da secante com os valores iniciais:
Calculamos também f(x₂)≈−0.102.
Passo 5
Verificamos o critério de parada: |x₂−x₁|=|−1.40966−(−1.4)|≈0.00966<0.01. Como a diferença entre iterações já é menor que ε, paramos aqui e adotamos x₂ como raiz approximada.
Resposta
A primeira raiz negativa aproximada é x≈−1.41.