Resolva pelo método de Gauss com pivoteamento parcial e refine a solução até obter a solução exata.
x1+4 x2+52 x3 & =57 27 x1+110 x2-3 x3 & =134 22 x1+2 x2+14 x3 & =38

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um sistema linear de três equações e três incógnitas e vamos usar eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, seguido de refinamento para obter a solução exata. Precisaremos montar a matriz aumentada, trocar linhas para escolher pivô, usar operações elementares em linhas e depois fazer substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, no primeiro pivoteamento parcial, escolhemos o maior elemento em módulo na coluna 1 (27). Então trocamos a linha 1 com a linha 2:
27 & 110 & -3 &|& 134 1 & 4 & 52 &|& 57 22 & 2 & 14 &|& 38

Passo 3

Eliminação de x1: aplicamos as operações
  • L2 L2 - (1/27)·L1
  • L3 L3 - (22/27)·L1
e obtemos a forma triangular:
27 & 110 & -3 &|& 134 0 & -tfrac227 & tfrac4699 &|& tfrac140527 0 & -tfrac236627 & tfrac1489 &|& -tfrac192227

Passo 4

Segundo pivoteamento parcial: na coluna 2 usamos em L2 e L3 os valores |-2/27| e |-2366/27|. Como 2366/27 é maior, trocamos L2 com L3:
27 & 110 & -3 &|& 134 0 & -tfrac236627 & tfrac1489 &|& -tfrac192227 0 & -tfrac227 & tfrac4699 &|& tfrac140527

Passo 5

Eliminação de x2: com pivô -2366/27 na posição (2,2), fazemos
L3 L3 - \bigl((-2/27)\big/(-2366/27)\bigr)·L2 = L3 - (1/1183)·L2
Isso gera 0 em (3,2) e na equação da terceira linha só sobra x3, resultando em
1cdot x3 = 1

Passo 6

Substituição regressiva para x3: da equação x3 = 1 obtemos diretamente o valor exato de x3.

Passo 7

Com x3=1, voltamos à segunda equação triangular:
-tfrac236627,x2 + tfrac1489cdot 1 = -tfrac192227
Isolando x2 e calculando com precisão racional, obtemos
x2 = 1

Passo 8

Finalmente, substituímos x2=1 e x3=1 na primeira equação:
27x1 + 110cdot1 -3cdot1 = 134
Logo
27x1 = 27 implies x1 = 1

Resposta

x1=1,;x2=1,;x3=1

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