Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir.
\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}^{2} \cdot x_{2}-x_{2}^{3}=4 \\\ x_{1}^{2}+x_{1}-x_{2}^{3}=9\end{array}\right. com \mathrm{x}^{0}=\binom{2.1}{2.5}

Passo 1

O problema pede aplicar o Método de Newton (para sistemas não-lineares) ao sistema
\begin{cases} 3x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{3}=4,\\[4pt] x_{1}^{2}+x_{1}-x_{2}^{3}=9, \end{cases}
com tolerância \varepsilon=10^{-3} e ponto inicial
x^{0}=\begin{pmatrix}2{,}1\\[2pt]2{,}5\end{pmatrix}.
Informações dadas e o que se busca:
  • Temos as duas equações não-lineares acima.
  • O método pedido é o Método de Newton para sistemas.
  • Ponto inicial \,x^{0}=(2{,}1,\,2{,}5)^{T}.
  • Critério de parada: usar \varepsilon=10^{-3} (vamos parar quando a norma euclidiana da correção \Delta x for menor que \varepsilon).
    A partir daqui vou aplicar o Método de Newton passo a passo até satisfazer a tolerância.]

Passo 2

Apresentação do Método de Newton para sistemas (a “aula” rápida e prática).
  • Definimos o vetor função \,F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} por
F(x)=\begin{pmatrix} f_{1}(x)\\[4pt] f_{2}(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{3}-4\\[4pt] x_{1}^{2}+x_{1}-x_{2}^{3}-9 \end{pmatrix}.
Aqui cada componente deve ser zero na solução.
  • A Jacobiana J(x) é a matriz das derivadas parciais:
J(x)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x_{1}x_{2} & 3(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})\\[6pt] 2x_{1}+1 & -3x_{2}^{2} \end{pmatrix}.
  • A iteração de Newton dá, a cada passo k,
J(x^{k})\,\Delta x^{k} = -F(x^{k}),\qquad x^{k+1}=x^{k}+\Delta x^{k}.
  • Critério de parada adotado: parar quando \|\Delta x^{k}\|_{2}<\varepsilon (norma euclidiana).
  • Vou resolver cada sistema linear 2\times2 por regra de Cramer (ou eliminação) e mostrar as contas numéricas.]

Passo 3

Iteração k=0 (ponto inicial x^{0}=(2{,}1,\,2{,}5)^{T}).
  • Calcule F(x^{0}):
x_{1}^{0}=2{,}1,\quad x_{2}^{0}=2{,}5,\quad x_{1}^{0\,2}=4{,}41,\quad x_{2}^{0\,3}=15{,}625.
f_{1}(x^{0})=3\cdot4{,}41\cdot2{,}5-15{,}625-4=33{,}075-19{,}625=13{,}45,
f_{2}(x^{0})=4{,}41+2{,}1-15{,}625-9=6{,}51-24{,}625=-18{,}115.
Logo
F(x^{0})=\begin{pmatrix}13{,}45\\[4pt]-18{,}115\end{pmatrix}.
  • Calcule J(x^{0}):
J(x^{0})=\begin{pmatrix} 6\cdot2{,}1\cdot2{,}5 & 3(4{,}41-6{,}25)\\[6pt] 2\cdot2{,}1+1 & -3\cdot6{,}25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31{,}5 & -5{,}52\\[6pt] 5{,}2 & -18{,}75 \end{pmatrix}.
  • Resolver J(x^{0})\Delta x^{0} = -F(x^{0}), ou seja
\begin{pmatrix}31{,}5 & -5{,}52\\[4pt]5{,}2 & -18{,}75\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Delta x_{1}^{0}\\[4pt]\Delta x_{2}^{0}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-13{,}45\\[4pt]18{,}115\end{pmatrix}.
Usando Cramer:
\det J(x^{0})=31{,}5(-18{,}75)-(-5{,}52)(5{,}2)=-561{,}921.
\Delta x_{1}^{0}=\frac{(-13{,}45)(-18{,}75)-(-5{,}52)(18{,}115)}{\det J(x^{0})} \approx\frac{352{,}1823}{-561{,}921}\approx -0{,}626897,
\Delta x_{2}^{0}=\frac{31{,}5\cdot18{,}115 -5{,}2(-13{,}45)}{\det J(x^{0})} \approx\frac{640{,}5625}{-561{,}921}\approx -1{,}140119.
  • Atualização:
x^{1}=x^{0}+\Delta x^{0}\approx \begin{pmatrix}2{,}1-0{,}626897\\[4pt]2{,}5-1{,}140119\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1{,}473103\\[4pt]1{,}359881\end{pmatrix}.
  • Norma da correção:
\|\Delta x^{0}\|_{2}\approx\sqrt{0{,}626897^{2}+1{,}140119^{2}}\approx1{,}300>10^{-3},
portanto continuar.]

Passo 4

Iteração k=1 ( x^{1}\approx(1{,}473103,\,1{,}359881)^{T}).
  • Calcule F(x^{1}) (valores aproximados):
x_{1}^{1\,2}\approx2{,}168042,\quad x_{2}^{1\,2}\approx1{,}849298,\quad x_{2}^{1\,3}\approx2{,}515602.
f_{1}(x^{1})\approx3\cdot2{,}168042\cdot1{,}359881-2{,}515602-4\approx2{,}3276,
f_{2}(x^{1})\approx2{,}168042+1{,}473103-2{,}515602-9\approx-7{,}8745.
F(x^{1})\approx\begin{pmatrix}2{,}3276\\[4pt]-7{,}8745\end{pmatrix}.
  • Jacobiana em x^{1}:
J(x^{1})\approx \begin{pmatrix} 6\cdot1{,}473103\cdot1{,}359881 & 3(2{,}168042-1{,}849298)\\[6pt] 2\cdot1{,}473103+1 & -3\cdot1{,}849298 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 12{,}00629 & 0{,}956232\\[4pt] 3{,}946206 & -5{,}547894 \end{pmatrix}.
  • Resolver J(x^{1})\Delta x^{1}=-F(x^{1}) (RHS \approx(-2{,}3276,\,7{,}8745)^{T}).
    Usando Cramer (cálculos aproximados) obtemos
\Delta x^{1}\approx\begin{pmatrix}-0{,}07645\\[4pt]-1{,}47312\end{pmatrix}.
  • Atualização:
x^{2}=x^{1}+\Delta x^{1}\approx\begin{pmatrix}1{,}396653\\[4pt]-0{,}113219\end{pmatrix}.
  • Norma da correção:
\|\Delta x^{1}\|_{2}\approx1{,}474>10^{-3},
continuar.]

Passo 5

Iteração k=2 ( x^{2}\approx(1{,}396653,\,-0{,}113219)^{T}).
  • Calcule F(x^{2}) (aprox.):
x_{1}^{2\,2}\approx1{,}950628,\quad x_{2}^{2\,2}\approx0{,}01282,\quad x_{2}^{2\,3}\approx-0{,}001451.
f_{1}(x^{2})\approx3\cdot1{,}950628\cdot(-0{,}113219)-(-0{,}001451)-4\approx-4{,}660888,
f_{2}(x^{2})\approx1{,}950628+1{,}396653-(-0{,}001451)-9\approx-5{,}651268.
  • Jacobiana:
J(x^{2})\approx\begin{pmatrix}-0{,}948628 & 5{,}813424\\[4pt]3{,}793306 & -0{,}038460\end{pmatrix}.
  • Resolver J(x^{2})\Delta x^{2}=-F(x^{2}) (RHS \approx(4{,}660888,\,5{,}651268)^{T}):
    resultando aproximadamente
\Delta x^{2}\approx\begin{pmatrix}1{,}5019\\[4pt]1{,}0469\end{pmatrix}.
  • Atualização:
x^{3}=x^{2}+\Delta x^{2}\approx\begin{pmatrix}2{,}898553\\[4pt]0{,}933681\end{pmatrix}.
  • Norma \|\Delta x^{2}\|_{2}\approx1{,}831>10^{-3}, continuar.]

Passo 6

Iteração k=3 ( x^{3}\approx(2{,}898553,\,0{,}933681)^{T}).
  • F(x^{3}) (aprox.):
x_{1}^{3\,2}\approx8{,}40161,\quad x_{2}^{3\,2}\approx0{,}87176,\quad x_{2}^{3\,3}\approx0{,}8139,
f_{1}(x^{3})\approx3\cdot8{,}40161\cdot0{,}933681-0{,}8139-4\approx18{,}7172,
f_{2}(x^{3})\approx8{,}40161+2{,}898553-0{,}8139-9\approx1{,}48626.
  • Jacobiana:
J(x^{3})\approx\begin{pmatrix}16{,}2336 & 22{,}5896\\[4pt]6{,}797106 & -2{,}61528\end{pmatrix}.
  • Resolver J(x^{3})\Delta x^{3}=-F(x^{3}) (RHS \approx(-18{,}7172,\,-1{,}48626)^{T}):
\Delta x^{3}\approx\begin{pmatrix}-0{,}4210\\[4pt]-0{,}5261\end{pmatrix}.
  • Atualização:
x^{4}=x^{3}+\Delta x^{3}\approx\begin{pmatrix}2{,}47755\\[4pt]0{,}407581\end{pmatrix}.
  • Norma \|\Delta x^{3}\|_{2}\approx0{,}674>10^{-3}, continuar.]

Passo 7

Iteração k=4 ( x^{4}\approx(2{,}47755,\,0{,}407581)^{T}).
  • F(x^{4}) (aprox.):
x_{1}^{4\,2}\approx6{,}137299,\quad x_{2}^{4\,2}\approx0{,}166142,\quad x_{2}^{4\,3}\approx0{,}067722,
f_{1}(x^{4})\approx3\cdot6{,}137299\cdot0{,}407581-0{,}067722-4\approx3{,}43918,
f_{2}(x^{4})\approx6{,}137299+2{,}47755-0{,}067722-9\approx-0{,}452872.
  • Jacobiana:
J(x^{4})\approx\begin{pmatrix}6{,}05672 & 17{,}91347\\[4pt]5{,}9551 & -0{,}498426\end{pmatrix}.
  • Resolver J(x^{4})\Delta x^{4}=-F(x^{4}) (RHS \approx(-3{,}43918,\,0{,}452872)^{T}):
\Delta x^{4}\approx\begin{pmatrix}0{,}05837\\[4pt]-0{,}2118\end{pmatrix}.
  • Atualização:
x^{5}=x^{4}+\Delta x^{4}\approx\begin{pmatrix}2{,}53592\\[4pt]0{,}195781\end{pmatrix}.
  • Norma \|\Delta x^{4}\|_{2}\approx0{,}2197>10^{-3}, continuar.]

Passo 8

Iteração k=5 ( x^{5}\approx(2{,}53592,\,0{,}195781)^{T}).
  • F(x^{5}) (aprox.):
x_{1}^{5\,2}\approx6{,}43189,\quad x_{2}^{5\,2}\approx0{,}038335,\quad x_{2}^{5\,3}\approx0{,}007503,
f_{1}(x^{5})\approx3\cdot6{,}43189\cdot0{,}195781-0{,}007503-4\approx-0{,}2296,
f_{2}(x^{5})\approx6{,}43189+2{,}53592-0{,}007503-9\approx-0{,}047503.
  • Jacobiana:
J(x^{5})\approx\begin{pmatrix}2{,}978526 & 19{,}180668\\[4pt]6{,}07184 & -0{,}115005\end{pmatrix}.
  • Resolver J(x^{5})\Delta x^{5}=-F(x^{5}) (RHS \approx(0{,}2296,\,0{,}047503)^{T}):
\Delta x^{5}\approx\begin{pmatrix}0{,}008016\\[4pt]0{,}010727\end{pmatrix}.
  • Atualização:
x^{6}=x^{5}+\Delta x^{5}\approx\begin{pmatrix}2{,}543936\\[4pt]0{,}206508\end{pmatrix}.
  • Norma \|\Delta x^{5}\|_{2}\approx0{,}0134>10^{-3}, continuar.]

Passo 9

Iteração k=6 ( x^{6}\approx(2{,}543936,\,0{,}206508)^{T}).
  • F(x^{6}) (aprox.):
x_{1}^{6\,2}\approx6{,}4735,\quad x_{2}^{6\,2}\approx0{,}042648,\quad x_{2}^{6\,3}\approx0{,}008807,
f_{1}(x^{6})\approx3\cdot6{,}4735\cdot0{,}206508-0{,}008807-4\approx0{,}002593,
f_{2}(x^{6})\approx6{,}4735+2{,}543936-0{,}008807-9\approx0{,}008629.
  • Jacobiana:
J(x^{6})\approx\begin{pmatrix}3{,}15199 & 19{,}292556\\[4pt]6{,}087872 & -0{,}127944\end{pmatrix}.
  • Resolver J(x^{6})\Delta x^{6}=-F(x^{6}) (RHS \approx(-0{,}002593,\,-0{,}008629)^{T}):
    Cálculos aproximados dão
\Delta x^{6}\approx\begin{pmatrix}-0{,}001416\\[4pt]0{,}0000967\end{pmatrix}.
  • Atualização:
x^{7}=x^{6}+\Delta x^{6}\approx\begin{pmatrix}2{,}542520\\[4pt]0{,}206605\end{pmatrix}.
  • Norma da correção:
\|\Delta x^{6}\|_{2}\approx0{,}001417,
que é ligeiramente maior que 10^{-3}, então uma iteração adicional é razoável para garantir \|\Delta x\|<10^{-3}.]

Passo 10

Iteração k=7 ( x^{7}\approx(2{,}542520,\,0{,}206605)^{T}).
  • Avaliando F e J aproximadamente em x^{7} obtemos uma correção
\Delta x^{7}\approx\begin{pmatrix}0{,}000309\\[4pt]-0{,}0001378\end{pmatrix},
com norma
\|\Delta x^{7}\|_{2}\approx0{,}000339<10^{-3}.
Portanto o critério de parada é satisfeito. Tomamos como aproximação final o vetor x^{7} (ou x^{7}+\Delta x^{7}; a diferença é menor que a tolerância).]

Resposta

\displaystyle x_{1}\approx 2{,}542520
\displaystyle x_{2}\approx 0{,}206605

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