Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir. \left\{\begin{array}{l}\left(x_{1}-1\right)^{2}+x_{2}^{2}=4 \\\ x_{1}^{2}+\left(x_{2}-1\right)^{2}=4\end{array}\right. com \mathrm{x}^{0}=\binom{0}{2}
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o Método de Newton para sistemas ao sistema
usando o chute inicial \mathrm{x}^{0}=\binom{0}{2} e critério de parada \varepsilon=10^{-3}.
Informações dadas que vamos usar: as duas equações não-lineares acima e o ponto inicial \mathrm{x}^{0}=(0,2)^\top. Não há outras imagens/tabelas.]
Passo 2
O que é o Método de Newton para sistemas (explicação prática e passo a passo):
Aqui J_{\mathbf{F}}(\mathbf{x}) é a matriz jacobiana (matriz das derivadas parciais). O critério de parada que usaremos é
\lVert\mathbf{s}^k\rVert<\varepsilon,
ou seja, paramos quando a correção em norma Euclidiana for menor que \varepsilon=10^{-3}.
Vou aplicar exatamente isso ao sistema dado, calculando \mathbf{F}, o jacobiano, resolvendo cada sistema linear e mostrando as normas das correções.]
Passo 3
Formulando \mathbf{F} e o jacobiano para o sistema:
Resolvendo J\mathbf{s}^1=-\mathbf{F}(\mathbf{x}^1), com RHS \begin{pmatrix}-14{,}5\\[4pt]-14{,}5\end{pmatrix}.
Pela simetria (RHS com entradas iguais e matriz simétrica com linhas iguais somadas) temos s_1^1=s_2^1=s. Então
(Observação: esse valor coincide com a solução exata fechada \dfrac{1+\sqrt{7}}{2}\approx1{,}8228756555, mas a solução acima foi obtida pelo processo iterativo com o critério pedido.)]