Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir. \left\{\begin{array}{l}x_{1}^{2}-4 \cdot x_{1}+x_{2}^{2}=0 \\\ x_{1}^{2} \cdot x_{2}+2 \cdot x_{1}^{2}=-1\end{array}\right. com \mathrm{x}^{0}=\binom{3}{-2}
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método de Newton para resolver o sistema
com vetor inicial \mathrm{x}^{0}=\begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix} e tolerância \varepsilon=10^{-3}.
Informações dadas e o que devemos obter:
Devemos usar o Método de Newton para sistemas (iterações \mathrm{x}^{k+1}=\mathrm{x}^k+\mathrm{s}^k, onde \mathrm{s}^k satisfaz J(\mathrm{x}^k)\,\mathrm{s}^k=-F(\mathrm{x}^k)).
A tolerância indicada é \varepsilon=10^{-3}. Vou adotar o critério de parada padrão: parar quando \|\mathrm{x}^{k+1}-\mathrm{x}^k\|_{\infty}<\varepsilon (ou seja, quando todas as componentes mudarem menos que 10^{-3}).
Lista de dados iniciais: \mathrm{x}^0=\begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix}.
A partir daqui começo a aplicar Newton passo a passo.]
Passo 2
Definição das funções e da Jacobiana (aula rápida e prática).
Para aplicar Newton precisamos escrever F(\mathrm{x}) tal que procuramos a raiz F(\mathrm{x})=\mathbf{0}. Colocamos os dois equacionamentos como componentes de F:
Regra prática: em cada iteração k calculamos F(\mathrm{x}^k) e J(\mathrm{x}^k), resolvemos o sistema linear
J(\mathrm{x}^k)\,\mathrm{s}^k = -F(\mathrm{x}^k)
para obter a correção \mathrm{s}^k, e atualizamos \mathrm{x}^{k+1}=\mathrm{x}^k+\mathrm{s}^k. Repetimos até a norma da mudança ficar abaixo de \varepsilon.]
Passo 3
Primeira iteração: cálculo em \mathrm{x}^0=\begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix}.
Inspeção do comportamento e conclusão prática (explicação didática).
Após a segunda iteração vemos que a solução candidata mudou muito (componente x_1 mudou mais de 6 unidades). Para entender se estamos caminhando para a raiz avaliamos também F(\mathrm{x}^2) (só para ver o comportamento):
ou seja, o vetor residual cresceu muito; portanto a iteração saiu do caminho de convergência e o método, com passo completo de Newton a partir de \mathrm{x}^0=(3,-2), não está convergindo (ou pelo menos, não converge monoticamente) usando o critério escolhido.
Comentário amigo e prático: o Método de Newton é muito poderoso quando a aproximação inicial está suficientemente próxima da raiz e quando a Jacobiana não cria passos instáveis. Aqui observamos um grande passo que faz o residual aumentar: isso indica que o Newton “saltou” para uma região onde a linearização não é adequada. Em provas é comum fazer uma das duas coisas se isso ocorrer: (a) usar uma estratégia de attenuação (dampening) — multiplicar \mathrm{s}^k por um fator 0<\lambda\le1 e ajustar \lambda até diminuir o residual; ou (b) escolher outro chute inicial. Sem usar damping, a sequência obtida com passo completo diverge a partir do segundo passo.
Resposta
O método de Newton com passo completo e critério \|\mathrm{x}^{k+1}-\mathrm{x}^k\|_{\infty}<10^{-3}, a partir de \mathrm{x}^0=(3,-2), produz os primeiros iterados
\mathrm{x}^2\approx\begin{pmatrix}-3{,}8393752222\\[4pt]-2{,}7897591111\end{pmatrix},
mas a partir daí o vetor residual aumenta e as mudanças tornam-se grandes. Conclusão: com passo completo o método não converge a uma raiz a partir de \mathrm{x}^0=(3,-2) (é necessário usar damping ou outro chute inicial para obter convergência).]