Resolva a recorrência
a_{n}-3 a_{n-1}=2-2 n^{2}
dado a_{0}=3.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência linear não homogênea de primeira ordem
a_n - 3a_{n-1} = 2 - 2n^2
com condição inicial a_0=3. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular que atenda ao termo polinomial do lado direito.

Passo 2

A parte homogênea associada é
a_n^{(h)} - 3a_{n-1}^{(h)} = 0,
cuja equação característica é r - 3 = 0, dando raiz r=3. Portanto a solução homogênea é
a_n^{(h)} = C \cdot 3^n,
onde C é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Para uma solução particular a_n^{(p)} do tipo polinomial de grau 2, presumimos
a_n^{(p)} = A n^2 + B n + D.
Substituindo na recorrência:
(A n^2 + B n + D) -3\bigl[A(n-1)^2 + B(n-1) + D\bigr] =2 - 2n^2.
Expandindo e coletando termos em n^2, n e constantes, igualamos aos coeficientes do lado direito:
-2A = -2, \quad 6A - 2B = 0, \quad -3A + 3B - 2D = 2.
Dessa forma obtemos A=1, B=3 e D=2, logo
a_n^{(p)} = n^2 + 3n + 2.

Passo 4

A solução geral é
a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = C\cdot 3^n + n^2 + 3n + 2.
Usando a_0=3 temos
a_0 = C\cdot 3^0 + 0 + 0 + 2 = C + 2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad C=1.

Resposta

\boxed{a_n = 3^n + n^2 + 3n + 2.}

Exercícios relacionados