Resolva a recorrência
a_{n}=p a_{n-1}+q
sabendo que a_{0}=r, sendo p, q, r constantes.

Passo 1

O enunciado pede resolver a recorrência de primeira ordem não homogênea
a_n = p\,a_{n-1} + q
com condição inicial
a_0 = r.
O conteúdo envolve recorrência linear, decomposição em parte homogênea e particular, e soma de progressão geométrica.

Passo 2

Para a parte homogênea, considere
a_n^{(h)} = p\,a_{n-1}^{(h)}.
Isso é uma PG com razão p, logo a solução geral é
a_n^{(h)} = C\,p^n,
onde C é uma constante a determinar.

Passo 3

Procuramos uma solução particular constante, supondo
a_n^{(p)} = A.
Substituindo na recorrência resulta
A = p\,A + q \quad\Longrightarrow\quad (1-p)\,A = q.
Para p \neq 1, temos
A = \frac{q}{1-p}.

Passo 4

A solução geral é
a_n = C\,p^n + \frac{q}{1-p}.
Pela condição a_0 = r, vale
C + \frac{q}{1-p} = r \quad\Longrightarrow\quad C = r - \frac{q}{1-p}.

Passo 5

Substituindo C de volta, obtém-se
a_n = \Bigl(r - \frac{q}{1-p}\Bigr)\,p^n + \frac{q}{1-p}.
Uma forma equivalente, usando soma de PG, é
a_n = p^n\,r + \frac{q\,(p^n - 1)}{p - 1}.

Passo 6

No caso especial p = 1, a recorrência vira
a_n = a_{n-1} + q
e, por iteração,
a_n = r + n\,q.

Resposta

Para p \neq 1:
a_n = p^n\,r + \frac{q}{1-p}\,\bigl(1 - p^n\bigr) \quad\text{ou}\quad a_n = p^n\,r + \frac{q\,(p^n - 1)}{p - 1}.
Para p = 1:
a_n = r + n\,q.

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