Resolva a relação de recorrência
a_{n}=2\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)
dados a_{0}=1 e a_{1}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a relação de recorrência linear homogênea de segunda ordem
a_{n}=2\bigl(a_{n-1}-a_{n-2}\bigr),
com condições iniciais a_{0}=1 e a_{1}=0.
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica para recursões lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo a_{n}=r^{n}. Substituindo na recorrência, obtemos
r^{n}=2\bigl(r^{n-1}-r^{n-2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad r^{2}-2r+2=0.
Essa é a equação característica.

Passo 3

Resolvendo
r^{2}-2r+2=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=1\pm i.
Escrevemos então as raízes na forma polar:
1\pm i=\sqrt{2}\,e^{\pm i\pi/4}.
Logo a solução geral real é
a_{n}=(\sqrt{2})^{n}\Bigl(C\cos\frac{n\pi}{4}+D\sin\frac{n\pi}{4}\Bigr),
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 4

Usamos as condições iniciais:
Para n=0:
a_{0}=(\sqrt{2})^{0}\bigl(C\cos0+D\sin0\bigr)=C=1.
Para n=1:
a_{1}=(\sqrt{2})^{1}\Bigl(1\cdot\cos\frac{\pi}{4}+D\sin\frac{\pi}{4}\Bigr) =\sqrt{2}\,\frac{\sqrt{2}}{2}(1+D)=1+D,
e como a_{1}=0 segue 1+D=0, ou seja D=-1.

Passo 5

Substituindo C=1 e D=-1 na solução geral, obtemos
a_{n}=(\sqrt{2})^{n}\Bigl(\cos\tfrac{n\pi}{4}-\sin\tfrac{n\pi}{4}\Bigr).
Podemos ainda usar a identidade \cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos(x+\tfrac{\pi}{4}) para escrever
a_{n}=2^{\tfrac{n+1}{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{n+1}{4}\pi\bigr).

Resposta

a_{n}=(\sqrt{2})^{n}\Bigl(\cos\tfrac{n\pi}{4}-\sin\tfrac{n\pi}{4}\Bigr) \quad\text{ou}\quad a_{n}=2^{\tfrac{n+1}{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{n+1}{4}\pi\bigr).

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