Resolva a relação de recorrência
dados
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a relação de recorrência linear homogênea de segunda ordem
com condições iniciais
e
.
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica para recursões lineares com coeficientes constantes.
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica para recursões lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na recorrência, obtemos
Essa é a equação característica.
Passo 3
Resolvendo
usamos a fórmula de Bhaskara:
Escrevemos então as raízes na forma polar:
Logo a solução geral real é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Usamos as condições iniciais:
Para :
Para
Para
:
e como
segue
, ou seja
.
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Podemos ainda usar a identidade
para escrever