Resolva a relação de recorrência
a_{n}=6 a_{n-1}-9 a_{n-2}
dados a_{0}=1 e a_{1}=12.

Passo 1

O enunciado dá a relação de recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
a_{n}=6\,a_{n-1}-9\,a_{n-2},
com condições iniciais a_{0}=1 e a_{1}=12. O conteúdo envolve resolver a equação característica associada e determinar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo a_{n}\to r^n:
r^2 - 6r + 9 = 0.
Resolvendo,
r^2 - 6r + 9 = (r-3)^2 = 0
logo há raiz dupla \,r=3 de multiplicidade 2.

Passo 3

Para raiz dupla r=3, a solução geral da recorrência é da forma
a_{n} = (C_{1} + C_{2}\,n)\,3^n,
em que C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Usamos a_{0}=1:
a_{0} = (C_{1} + C_{2}\cdot 0)\,3^0 = C_{1} = 1.
Usamos a_{1}=12:
a_{1} = (C_{1} + C_{2}\cdot 1)\,3^1 = 3\,(1 + C_{2}) = 12 \quad\Longrightarrow\quad 1 + C_{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = 3.

Resposta

a_{n} = (1 + 3\,n)\,3^n.

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