Resolva a seguinte a equação
x-sin (x)=0.3
usando:
Método das Aproximações Sucessivas, com epsilon=10^-2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação x - sin(x) = 0.3 usando o método das aproximações sucessivas (fixo de ponto), com critério de parada varepsilon = 10^-2. Vamos precisar escolher uma função g(x) tal que as raízes de x = g(x) coincidam com as soluções da equação original.

Passo 2

Reescrevemos a equação como x = sin(x) + 0.3. Então definimos g(x) = sin(x) + 0.3. Sua derivada é g'(x) = cos(x). Na vizinhança da solução (em torno de 1.2), temos |cos(x)| <= 0.36 < 1, garantindo convergência local. Escolhemos o chute inicial x0 = 1.

Passo 3

Aplicamos a iteração xn+1 = g(xn) = sin(xn) + 0.3 até que |xn+1 - xn| < 0.01:
x1 &= sin(1) + 0.3 approx 1.1415, &|x1 - x0| &approx 0.1415 > 0.01, x2 &= sin(1.1415) + 0.3 approx 1.2095, &|x2 - x1| &approx 0.0680 > 0.01, x3 &= sin(1.2095) + 0.3 approx 1.2369, &|x3 - x2| &approx 0.0274 > 0.01, x4 &= sin(1.2369) + 0.3 approx 1.2445, &|x4 - x3| &approx 0.0076 < 0.01

Passo 4

Como o critério de parada |x4 - x3| < 0.01 foi satisfeito, interrompemos a iteração. A solução aproximada é o valor de x4.

Resposta

x approx 1.2445

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