Resolva o sistema (3) utilizando os Métodos Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Verifique a convergência dos métodos e, em caso afirmativo, resolva-o .
Passo 1
Temos o sistema
-10 & 2 & 1 -3 & 1 & 1 1 & 2 & 1 x1 x2 x3= 646
O conteúdo aqui é a aplicação dos métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel, mais a verificação de convergência e, se convergir, iterações até varepsilon=0,01.
Passo 2
Para usar Gauss–Jacobi separamos a matriz em
D=diag(-10,1,1), R=A-D
A iteração de Jacobi é x^(k+1)=D^-1(b-Rx^(k))
Para Gauss–Seidel escrevemos
A=D-L-U
e a iteração é x^(k+1)=(D-L)^-1(b - Ux^(k))
Passo 3
Um critério fácil de convergência suficiente é a diagonal dominante por linhas: cada |aii|>sumjneq i|aij|. Se for verdadeiro para todas as linhas, tanto Jacobi quanto Seidel convergem.
Passo 4
Calculamos as somas dos off-diagonais:
linha 1: |-10|=10>|2|+|1|=3 ok;
linha 2: |1|=1<|-3|+|1|=4 falha;
linha 3: |1|=1<|1|+|2|=3 falha.
Não há dominância em todas as linhas, logo não podemos garantir convergência de nenhum dos métodos.
Passo 5
Para ilustrar, faça duas iterações de cada método com chute zero e veja que os valores não se aproximam de um ponto fixo (os valores oscilam e crescem). Portanto ambos divergem e não é possível alcançar varepsilon=0,01.
Resposta
Os métodos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel não convergem para esse sistema.