Resolva a seguinte relação de recorrência para encontrar uma fórmula de forma fechada para a sequência
:
-
-
-
, para
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
com
Trata-se de uma recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na recorrência obtemos o polinômio característico:
Passo 3
Calculamos as raízes da equação
O discriminante é
logo
isto é,
e
. Como são raízes distintas, a solução geral é
Passo 4
Usamos as condições iniciais para determinar
e
. Para
:
Para
:
Passo 5
Resolvendo o sistema
multiplicamos a primeira equação por
e somamos à segunda, obtendo
, logo
. Substituindo em
vem
e assim
. Portanto