Resolva a seguinte relação de recorrência para encontrar uma fórmula de forma fechada para a sequência B(n) :
  • \mathrm{B}(1)=3
  • \mathrm{B}(2)=29
  • \mathrm{B}(\mathrm{n})=3 \mathrm{~B}(\mathrm{n}-1)+10 \mathrm{~B}(\mathrm{n}-2), para \mathrm{n} \geq 3

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{B(n)\} com
B(1) = 3,\quad B(2) = 29,\quad B(n) = 3\,B(n-1) + 10\,B(n-2)\quad(n\ge3).
Trata-se de uma recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma B(n)=r^n. Substituindo na recorrência obtemos o polinômio característico:
r^2 - 3r - 10 = 0.

Passo 3

Calculamos as raízes da equação
r^2 - 3r - 10 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-10) = 9 + 40 = 49,
logo
r = \frac{3 \pm 7}{2},
isto é, r_1 = 5 e r_2 = -2. Como são raízes distintas, a solução geral é
B(n) = \alpha\,5^n + \beta\,(-2)^n.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para determinar \alpha e \beta. Para n=1:
5\alpha - 2\beta = 3.
Para n=2:
25\alpha + 4\beta = 29.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 5\alpha - 2\beta = 3,\\\\ 25\alpha + 4\beta = 29, \end{cases}
multiplicamos a primeira equação por 2 e somamos à segunda, obtendo 35\alpha = 35, logo \alpha = 1. Substituindo em 5\alpha - 2\beta = 3 vem 5 - 2\beta = 3 e assim \beta = 1. Portanto
B(n) = 5^n + (-2)^n.

Resposta

B(n) = 5^n + (-2)^n

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