Resolva a seguinte relação de recorrência para encontrar uma fórmula de forma fechada para a sequência
:
-
-
-
, para
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
,
e, para
,
Este é um caso de recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à recorrência:
Passo 3
Calculamos as raízes de
O discriminante é
logo há raiz dupla
com multiplicidade 2.
Passo 4
Para raiz dupla
, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Usamos as condições iniciais. Para
:
Para
:
Passo 6
Resolvendo o sistema
subtraímos a primeira equação da segunda para obter
e, em seguida,
.
Passo 7
Substituindo
e
na forma geral, obtemos