Resolva a seguinte relação de recorrência para encontrar uma fórmula de forma fechada para a sequência \mathrm{G}(\mathrm{n}) :
  • \mathrm{G}(1)=0
  • \mathrm{G}(2)=-16
  • \mathrm{G}(\mathrm{n})=8 \mathrm{G}(\mathrm{n}-1)-16 \mathrm{G}(\mathrm{n}-2), para \mathrm{n} \geq 3

Passo 1

O enunciado define a sequência \mathrm G(n) por \mathrm G(1)=0, \mathrm G(2)=-16 e, para n\ge3,
\mathrm G(n)=8\,\mathrm G(n-1)-16\,\mathrm G(n-2).
Este é um caso de recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à recorrência:
r^2 -8r +16 = 0.

Passo 3

Calculamos as raízes de
r^2 -8r +16 = 0.
O discriminante é
\Delta =(-8)^2 -4\cdot1\cdot16 =64 -64 =0,
logo há raiz dupla
r= \frac{8}{2} =4
com multiplicidade 2.

Passo 4

Para raiz dupla r=4, a forma geral da solução é
\mathrm G(n) = \bigl(C_1 + C_2\,n\bigr)\,4^n,
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar.

Passo 5

Usamos as condições iniciais. Para n=1:
\mathrm G(1)=0 \implies (C_1 + C_2\cdot1)\,4^1 =0 \implies C_1 + C_2 = 0.
Para n=2:
\mathrm G(2)=-16 \implies (C_1 + C_2\cdot2)\,4^2 = -16 \implies C_1 +2C_2 = -1.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 0,\\\ C_1 +2C_2 = -1, \end{cases}
subtraímos a primeira equação da segunda para obter C_2=-1 e, em seguida, C_1=1.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na forma geral, obtemos
\mathrm G(n) = \bigl(1 - n\bigr)\,4^n.

Resposta

\displaystyle \mathrm G(n) = (1 - n)\,4^n.

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