Resolva o seguinte sistema
10 x1+2 x2-x3 & =27 -3 x1-6 x2+2 x3 & =-61,5 x1+x2+5 x3 & =-21,5
Usando o método de Gauss-Siedel até obter um erro relativo percentual menor que 0.05.

Passo 1

Beleza, aqui a parada é resolver o sistema
10x1 + 2x2 - x3 = 27, -3x1 -6x2 +2x3 = -61,5, x1 + x2 +5x3 = -21,5
usando o método iterativo de Gauss–Seidel até que o erro relativo percentual seja menor que 0,05%. Isso cai em Álgebra Linear/Números Computacionais, e a gente vai precisar:
  1. Garantir dominância diagonal pra convergir;
  2. Isolar cada variável na sua equação;
  3. Escolher um chute inicial (vamos usar (0,0,0));
  4. Iterar calculando as novas componentes e o erro relativo percentual
varepsilona,i^(k) = |xi^(k)-xi^(k-1)xi^(k)|times100%

Passo 2

Primeiro, checamos a dominância diagonal:
  • Eq.1: |10|> |2|+|-1|=3
  • Eq.2: |-6|>|-3|+|2|=5
  • Eq.3: |5|> |1|+|1|=2
    Tudo certo. Agora isolamos:
x1 &= 27 - 2x2 + x310, x2 &= -61,5 +3x1 -2x3-6 = 61,5 -3x1 +2x36, x3 &= -21,5 - x1 - x25
É isso que a gente vai usar a cada iteração.

Passo 3

Chute inicial:
x1^(0)=0, x2^(0)=0, x3^(0)=0
A cada iteração, uso imediatamente as componentes mais novas (Gauss–Seidel).

Passo 4

Usando (x1^(0),x2^(0),x3^(0))=(0,0,0),
x1^(1) &= 27 - 2cdot0 + 010 = 2,7, x2^(1) &= 61,5 - 3cdot2,7 + 2cdot06 = 61,5 - 8,16 = 8,9, x3^(1) &= -21,5 - 2,7 - 8,95 = -6,62
Erro não calculamos aqui (não há x^(0)neq0).

Passo 5

x1^(2) &= 27 - 2cdot8,9 + (-6,62)10 = 0,258, x2^(2) &= 61,5 - 3cdot0,258 + 2cdot(-6,62)6 = 7,9143, x3^(2) &= -21,5 - 0,258 - 7,91435 = -5,9345
Agora calculamos o maior erro percentual:
maxi varepsilona,i^(2) approx 946,5%(muito a

Passo 6

x1^(3) &= 27 - 2cdot7,9143 + (-5,9345)10 = 0,5237, x2^(3) &= 61,5 - 3cdot0,5237 + 2cdot(-5,9345)6 = 8,0100, x3^(3) &= -21,5 - 0,5237 - 8,01005 = -6,0067
Erro máximo
max varepsilona,i^(3)approx 50,7%

Passo 7

x1^(4) &= 0,4973, x2^(4) = 7,9991, x3^(4) = -5,9993, max varepsilona,i^(4) &approx 5,30%

Passo 8

x1^(5) &= 0,5003, x2^(5) = 8,00011, x3^(5) = -6,00007, max varepsilona,i^(5) &approx 0,586%

Passo 9

x1^(6) &= 0,49997, x2^(6) = 7,99999, x3^(6) = -5,99999, max varepsilona,i^(6) &approx 0,0566%

Passo 10

x1^(7) &= 0,5000027, x2^(7) = 8,0000013, x3^(7) = -6,0000008, max varepsilona,i^(7) &approx 0,0066% < 0,05%

Resposta

Aproximação final (erro relativo percentual <0,05%):
x1 approx 0,5000, x2 approx 8,0000, x3 approx -6,0000

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