Resolva o seguinte sistema linear pelo método de Gauss-Jordan:
l x+y+z=6 2 x+3 y+z=14 y+2 z=8

Passo 1

Beleza, então o enunciado manda a gente resolver o sistema
x + y + z = 6, 2x + 3y + z = 14, y + 2z = 8
usando o método de Gauss–Jordan. Esse método é só uma sequência de operações elementares de linhas (trocar linhas, multiplicar por escalar, somar múltiplas de uma linha em outra) pra transformar a matriz aumentada numa forma “identidade à esquerda” e ler directinho as soluções. Vamos precisar saber como montar a matriz aumentada e aplicar essas operações passo a passo, sem pular nenhuma etapa.

Passo 2

Primeiro a gente monta a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 2 & 3 & 1 & 14 0 & 1 & 2 & 8 ]

Passo 3

O pivô da primeira coluna (linha 1, coluna 1) já é 1, show. Agora a gente zera o elemento abaixo dele (linha 2) fazendo
L2 L2 - 2,L1
Isso dá:
[
\left[ [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 2-2cdot1 & 3-2cdot1 & 1-2cdot1 & 14-2cdot6 0 & 1 & 2 & 8 ] = [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & 1 & -1 & 2 0 & 1 & 2 & 8 ] \right]

\left[ \right].
]

Passo 4

Agora o pivô da segunda coluna tá em (2,2) e vale 1. Bora zerar o elemento abaixo (linha 3):
L3 L3 - L2
Isso transforma em
L3 = [0;;1;;2mid8] - [0;;1;-1mid2] = [0;;0;;3mid6],
ficando a matriz
$$
\left[ [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 3 & 6 ] \right].
$$

Passo 5

O pivô na terceira linha (posição (3,3)) é 3. Transformar ele em 1 é mole:
L3 tfrac13,L3,
deixa assim:
$$
\left[ [ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 2 ] \right].
$$

Passo 6

Gauss–Jordan pede pra zerar tudo acima dos pivôs também. Começando pelo pivô da linha 3 (coluna 3):
  • Em (2,3) a gente tem [ccc|c 1 & 1 & 0 & 4 0 & 1 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 2 ] , faz , o termo independente vira .
  • Em (1,3) tem , faz , o termo independente vira .
Fica:

Passo 7

Último ajuste: zerar acima do pivô da segunda coluna (posição (2,2)). Em (1,2) tem 1, então
L1 L1 - L2,
e o termo independente vira [ccc|c 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 2 ] . Resultado final:
$$
\left[ \right].
$$

Resposta

Lendo a matriz identidade ampliada, a solução é
(x,y,z) = (0,,4,,2)

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