Resolva o seguinte sistema linear usando eliminação gaussiana.
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{3}=0 \\\ x_{1}+x_{2}=1 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+x_{3}=0,\\\ x_{1}+x_{2}=1,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1 \end{cases}
usando eliminação gaussiana. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para escalonar.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x_{1} das equações 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right] \quad\overset{R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}}{\longrightarrow}\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right] \quad\overset{R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}}{\longrightarrow}\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 3 & -1 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Agora usamos a segunda linha como pivô para eliminar x_{2} da terceira linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 3 & -1 & 1 \end{array}\right] \quad\overset{R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{2}}{\longrightarrow}\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{array}\right]
A terceira equação ficou 2x_{3}=-2.

Passo 4

Resolvendo de baixo para cima (substituição reversa):
Da terceira equação,
2x_{3}=-2\quad\implies\quad x_{3}=-1.
Substituindo na segunda equação x_{2}-x_{3}=1,
x_{2}-(-1)=1\quad\implies\quad x_{2}=0.
Por fim, na primeira equação x_{1}+x_{3}=0,
x_{1}+(-1)=0\quad\implies\quad x_{1}=1.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3}) = (1,0,-1)

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