Usando o método da eliminação de Gauss resolva algum dos sistemas: (3 pontos)
\left\{\begin{array}{r}3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}=1 \\\\ -3 x_{2}-5 x_{3}+7 x_{4}=7 \\\\ 2 x_{2}+4 x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}-x_{4}=1,\\\\ -3x_{2}-5x_{3}+7x_{4}=7,\\\\ 2x_{2}+4x_{3}=0, \end{cases}
querendo a solução pelo método da eliminação de Gauss. Aqui temos 4 incógnitas e 3 equações, então esperamos uma solução geral com um parâmetro livre.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -3 & -5 & 7 & 7\\\\ 0 & 2 & 4 & 0 & 0 \end{array}\right].
Os zeros na primeira coluna das linhas 2 e 3 vêm porque as equações não têm x_{1}.

Passo 3

Para facilitar, trocamos a linha 2 com a linha 3, de modo que o pivô na segunda linha seja 2 em vez de -3:
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 2 & 4 & 0 & 0\\\\ 0 & -3 & -5 & 7 & 7 \end{array}\right].

Passo 4

Usamos o pivô 2 da linha 2 para zerar o coeficiente -3 da linha 3. Fazemos
\text{linha}_3 \gets \text{linha}_3 + \tfrac{3}{2}\,\text{linha}_2,
obtendo
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 2 & 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 7 & 7 \end{array}\right].
Agora temos sistema triangular.

Passo 5

Voltando às equações equivalentes às linhas:
Linha 3: x_{3} +7x_{4}=7
Linha 2: 2x_{2}+4x_{3}=0
Linha 1: 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}-x_{4}=1
Como há 4 incógnitas e só 3 equações independentes, escolhemos x_{4}=t como parâmetro livre.

Passo 6

Fazemos substituições de baixo para cima:
Da linha 3:
x_{3}=7-7t.
Da linha 2:
2x_{2}+4(7-7t)=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=-2(7-7t)=-14+14t.
Da linha 1:
3x_{1}+2(-14+14t)+(7-7t)-t=1 \quad\Longrightarrow\quad 3x_{1}=22-20t \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{22-20t}{3}=\frac{22}{3}-\frac{20}{3}t.

Resposta

A solução geral do sistema é
\begin{cases} x_{1}=\displaystyle \frac{22}{3}-\frac{20}{3} \cdot t,\\[6pt] x_{2}=-14+14 \cdot t,\\[3pt] x_{3}=7-7 \cdot t,\\[3pt] x_{4}=t, \end{cases}
com t\in\mathbb{R}.]

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