Usando fatoração de Cholesky resolva algum dos sistemas: (3 pontos)
\left\{\begin{aligned} 20 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3} & =16 \\\\ 7 x_{1}+9 x_{2}+8 x_{3} & =38 \\\\ 9 x_{1}+8 x_{2}-30 x_{3} & =38\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 20x_{1}+7x_{2}+9x_{3}=16,\\\\ 7x_{1}+9x_{2}+8x_{3}=38,\\\\ 9x_{1}+8x_{2}-30x_{3}=38 \end{cases}
usando fatoração de Cholesky. Para isso precisamos que a matriz dos coeficientes seja simétrica e definida positiva, pois só assim existe uma fatoração A = R^{T}R com R triangular superior.

Passo 2

Escrevemos a matriz A e o vetor b:
A = \begin{pmatrix} 20 & 7 & 9\\\\ 7 & 9 & 8\\\\ 9 & 8 & -30 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}16\\\ 38\\\ 38\end{pmatrix}.
Note que A é simétrica, mas falta verificar se é definida positiva.

Passo 3

Para checar se A é definida positiva, calculamos os menores principais:
Menor de ordem 1:
\Delta_{1} = \det\bigl(20\bigr) = 20 > 0.
Menor de ordem 2 (do canto superior esquerdo):
\Delta_{2} = \det\begin{pmatrix}20 & 7\\\ 7 & 9\end{pmatrix} =20\cdot9 -7\cdot7 =180-49=131>0.
Menor de ordem 3 (o determinante de A):
\Delta_{3} = \det(A) =20\det\begin{pmatrix}9&8\\\ 8&-30\end{pmatrix} -7\det\begin{pmatrix}7&8\\\ 9&-30\end{pmatrix} +9\det\begin{pmatrix}7&9\\\ 9&8\end{pmatrix}.
Calculando cada cofactor:
\det\begin{pmatrix}9&8\\\ 8&-30\end{pmatrix} =9\cdot(-30)-8\cdot8=-270-64=-334,
\det\begin{pmatrix}7&8\\\ 9&-30\end{pmatrix} =7\cdot(-30)-8\cdot9=-210-72=-282,
\det\begin{pmatrix}7&9\\\ 9&8\end{pmatrix} =7\cdot8-9\cdot9=56-81=-25.
Logo
\Delta_{3} =20\cdot(-334) -7\cdot(-282) +9\cdot(-25) =-6680 +1974 -225 =-4931 <0.

Passo 4

Como \Delta_{3}<0, a matriz A não é definida positiva. Portanto não existe fatoração de Cholesky real para A.

Resposta

Não é possível aplicar a fatoração de Cholesky porque a matriz dos coeficientes não é definida positiva.

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