Resolva o seguinte sistema linear, utilizando fatoração LU. Confira a solução encontrada, fazendo a substituição no sistema.
l x1+2 x2-x3=2 2 x1+3 x2-2 x3=3 x1-2 x2+x3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear por fatoração LU, isto é, escrever a matriz dos coeficientes como produto de uma matriz unitriangular e de uma matriz triangular superior , e então usar substituições para encontrar o vetor solução .

Passo 2

Escrevemos a matriz A e o vetor b do sistema
A = 1 & 2 & -1 2 & 3 & -2 1 & -2 & 1 , b = 230
e assumimos a fatoração de Doolittle
A = LU,
onde
L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô u11=1:
  • ell21 = 2, pois subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 2,
  • ell31 = 1, pois subtraímos 1 vez a linha 1 da linha 3.
    Aplicando essas operações, obtemos a forma intermediária de U:
U^(1) = 1 & 2 & -1 0 & -1 & 0 0 & -4 & 2

Passo 4

Eliminamos abaixo do pivô u^(1)22=-1:
ell32 = -4-1=4, subtraindo 4 vezes a linha 2 da linha 3.
Assim chegamos a
U = 1 & 2 & -1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 , L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 1 & 4 & 1

Passo 5

Resolvemos por substituição para frente:

Passo 6

Resolvemos por substituição para trás:

Passo 7

Verificamos por substituição no sistema original:
1 + 2cdot1 - 1 = 2, 2cdot1 + 3cdot1 - 2cdot1 = 3, 1 - 2cdot1 + 1 = 0,
todas verdadeiras, confirmando a solução.

Resposta

(x1,x2,x3) = (1,1,1)

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