Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de ordem superior empregando o método RungeKutta de segunda e de quarta ordem:
t y^prime prime-2 t y^prime+2 y=t^3 ln (t), 1 <= t <= 2, y(1)=1, y^prime(1)=0 ; h=0,5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
t y'' - 2t y' + 2y = t^3 ln(t), 1 <= t <= 2,
com condições iniciais y(1)=1, y'(1)=0 e passo h=0,5, usando RK de segunda e quarta ordem.

Passo 2

Primeiro transformamos em sistema de primeira ordem. Definindo
y1 = y, y2 = y',
temos
y1' = y2,
y2' = 2y2 - 2y1t + t^2 ln(t)
Então y=(y1,y2) e
f(t, y) = y2 2y2 - 2y1/t + t^2ln(t)

Passo 3

Para RK2 usamos o método do ponto médio:
k1 = f(tn,yn), k2 = fl(tn+tfrac h2,yn + tfrac h2 k1r), yn+1=yn + h,k2
No passo de t=1 para t=1,5, com y(1)=(1,0):
k1 = (0,-2),
k2 = fl(1,25,(1,-0.5)r) = (-0.5,-2.2510),
y(1.5) = (1,0) + 0.5,(-0.5,-2.2510) = (0.7500,-1.1255)

Passo 4

No passo de t=1,5 para t=2, partindo de (0.7500,-1.1255):
k1 = (-1.1255,-2.3387),
k2 = fl(1,75,(0.4686,-1.7102)r) = (-1.7102,-2.2434),
y(2) = (0.7500,-1.1255) + 0.5,(-1.7102,-2.2434) = (-0.1051,-2.2472)

Passo 5

Para RK4 usamos as fórmulas clássicas:
k1 = f(tn,yn), k2 = fl(tn+tfrac h2,yn+tfrac h2 k1r), k3 = fl(tn+tfrac h2,yn+tfrac h2 k2r), k4 = f(tn+h,yn+h k3), yn+1 = yn + tfrac h6,(k1+2k2+2k3+k4)

Passo 6

No passo de t=1 para t=1,5, com (1,0):
k1=(0,-2), k2=(-0.5,-2.2510), k3=(-0.5628,-2.1765), k4=(-1.0883,-2.2224),
y(1.5) approx (0.7322,-1.0898)

Passo 7

No passo de t=1,5 para t=2, com (0.7322,-1.0898):
k1=(-1.0898,-2.2435), k2=(-1.6507,-2.1134), k3=(-1.6181,-1.8889), k4=(-2.0343,-1.2191),
y(2) approx (-0.0730,-2.0454)

Resposta

Aproximações para h=0,5:
Para RK2:
y(1.5)=0.7500, y'(1.5)=-1.1255;
y(2)=-0.1051, y'(2)=-2.2472
Para RK4:
y(1.5)=0.7322, y'(1.5)=-1.0898;
y(2)=-0.0730, y'(2)=-2.0454

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