Resolva as seguintes equações e inequações:
2 x <= x^2

Passo 1

Beleza, o enunciado manda resolver a inequação
2x <= x^2
Isso é uma inequação do 2° grau (ou quadrática). Para resolver, vamos:
1) passar tudo para um lado,
2) fatorar o polinômio,
3) usar análise de sinais (produtos ≥0).

Passo 2

Primeiro, trazemos tudo para o lado esquerdo pra ficar no formato “coisa ≥ 0”:
2x <= x^2 Longrightarrow x^2 - 2x >= 0

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio x^2 - 2x = x,(x-2). A gente coloca x,(x - 2) >= 0 em evidência:

Então a inequação vira

Passo 4

Quando um produto de dois fatores é ≥0, ou os dois são positivos ou os dois são negativos (ou algum é zero). Primeiro achamos onde cada fator zera:
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
Em cada intervalo, testamos o sinal de e de :
  • Para :
    • é negativo,
    • é negativo (pois ).
      ⇒ produto é positivo.
  • Para :
    • é positivo,
    • é negativo (pois ).
      ⇒ produto é negativo.
  • Para :
    • é positivo,
    • é positivo.
      ⇒ produto é positivo.
Como queremos , aceitamos onde o produto é positivo ou zero. Zero acontece em e . Então a solução é:
  • todo em
  • mais
  • mais
  • mais todo em

Resposta

A solução da inequação é
x in (-infty, 0] ,cup,[2, infty)

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