Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{3}+1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
z^{3} + 1 = 0.
O conteúdo principal é encontrar as raízes complexas de -1 usando forma polar e raízes de unidade.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando z^{3}:
z^{3} = -1.
Em forma polar, -1 pode ser escrito como
-1 = e^{i(\pi + 2\pi k)},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para extrair a raiz cúbica, usamos
z = \bigl(e^{i(\pi + 2\pi k)}\bigr)^{1/3} = e^{i\bigl(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\bigr)},
onde distinguimos 3 valores (pois uma equação de grau 3 tem 3 raízes).

Passo 4

Tomando k=0,1,2, obtemos:
Para k=0:
z_{0} = e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Para k=1:
z_{1} = e^{i\frac{\pi + 2\pi}{3}} = e^{i\pi} = -1 + i\cdot0 = -1.
Para k=2:
z_{2} = e^{i\frac{\pi + 4\pi}{3}} = e^{i\frac{5\pi}{3}} = \cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) = \tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

As soluções de z^{3}+1=0 em \mathbb{C} são
z = -1,\quad z = \tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad z = \tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

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