Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{2}=\bar{z}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os z\in\mathbb{C} tais que
z^{2}=\overline{z}.
O conteúdo aqui é resolver uma equação em números complexos. Para isso vamos escrever z na forma
z = x + i\,y,
onde x,y\in\mathbb{R}, e usar \overline{z}=x - i\,y.

Passo 2

Calculamos
z^{2}=(x+ i\,y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2\,i\,x\,y
e impomos z^{2}=\overline{z}=x - i\,y. Igualando parte real e parte imaginária, obtemos o sistema
\begin{cases} x^{2}-y^{2}=x,\\\\ 2\,x\,y=-y. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação 2\,x\,y=-y podemos fatorar y:
y\,(2x+1)=0.
Logo ou y=0 ou 2x+1=0, isto é x=-\tfrac12.

Passo 4

Caso y=0.
Então a primeira equação vira
x^{2}-0 = x \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0
de onde x=0 ou x=1.
Portanto surgem as soluções
z=0 \quad\text{e}\quad z=1.

Passo 5

Caso x=-\tfrac12.
Substituindo na primeira equação:
\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}-y^{2}=-\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac14 - y^{2}=-\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -y^{2}=-\tfrac34 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=\tfrac34,
logo y=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}.
Isso dá as soluções
z=-\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt3}{2} \quad\text{e}\quad z=-\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt3}{2}.

Resposta

As soluções de z^{2}=\overline{z} são
z\in\Bigl\{\,0,\;1,\;-\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt3}{2},\;-\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr\}.

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