Resolva os seguintes sistemas, usando o método de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}3 x+y=9 \\\\ 2 x+3 y=13\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. Precisamos resolvê-lo usando o método de Gauss (eliminação por linhas). O sistema é:
\begin{cases} 3x + y = 9,\\[4pt] 2x + 3y = 13. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Duas equações lineares com incógnitas x e y.
  • Devemos aplicar o método de eliminação de Gauss para encontrar x e y.]

Passo 2

O primeiro passo do método de Gauss é escrever a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes). A matriz aumentada é:
\left(\begin{array}{cc|c} 3 & 1 & 9\\[4pt] 2 & 3 & 13 \end{array}\right).
Explicação curta do que é: cada linha representa uma equação; as duas primeiras colunas são os coeficientes de x e y, e a última coluna é o termo independente (o lado direito).]

Passo 3

Agora vamos eliminar o coeficiente abaixo do pivô da primeira coluna (queremos zerar o elemento na posição (2,1)). O pivô escolhido é o elemento 3 da primeira linha (posição (1,1)). As operações elementares permitidas são:
  • trocar duas linhas,
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
  • somar à uma linha um múltiplo de outra linha.
O fator que usamos para zerar o elemento 2 na segunda linha é
\text{fator} = \frac{2}{3},
pois ao fazer \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \frac{2}{3}\text{R}_1 teremos 2 - \frac{2}{3}\cdot 3 = 0.

Passo 4

Aplicando a operação \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \dfrac{2}{3}\text{R}_1 à matriz aumentada, calculamos cada entrada da nova segunda linha:
  • Nova entrada (2,1):
2 - \frac{2}{3}\cdot 3 = 2 - 2 = 0.
  • Nova entrada (2,2):
3 - \frac{2}{3}\cdot 1 = 3 - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}.
  • Novo termo independente (2,3):
13 - \frac{2}{3}\cdot 9 = 13 - 6 = 7.
A matriz aumentada triangularizada fica:
\left(\begin{array}{cc|c} 3 & 1 & 9\\[4pt] 0 & \dfrac{7}{3} & 7 \end{array}\right).]

Passo 5

A partir da segunda linha triangularizada temos uma equação simples para y. Escrevendo a segunda linha como equação:
\frac{7}{3}\,y = 7.
Para isolar y, multiplicamos ambos os lados por \dfrac{3}{7}:
y = 7 \cdot \frac{3}{7} = 3.
(Interpretação: quando aparece uma fração multiplicando a incógnita, basta dividir o termo independente por essa fração ou multiplicar pelo inverso.)

Passo 6

Agora voltamos à primeira linha original (ou à primeira linha da matriz triangular) para encontrar x. A primeira equação é:
3x + y = 9.
Substituímos o valor encontrado de y e resolvemos para x:
3x + 3 = 9.
Subtraindo 3 dos dois lados:
3x = 6.
Dividindo por 3:
x = 2.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom para garantir que não houve erro): substituir \,x=2 e \,y=3 nas duas equações originais:
  • Primeira equação: 3\cdot 2 + 3 = 6 + 3 = 9 (ok).
  • Segunda equação: 2\cdot 2 + 3\cdot 3 = 4 + 9 = 13 (ok).

Resposta

x=2
y=3

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