Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da eliminação de Gauss:
\left\{\begin{array}{r}x+y+z+w=10 \\\\ 2 x-y+3 z-w=5 \\\ x+2 y-z+2 w=7 \\\\ 3 x-y+z+w=8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x+y+z+w=10,\\\\ 2x-y+3z-w=5,\\\ x+2y-z+2w=7,\\\\ 3x-y+z+w=8 \end{cases}
usando o método de eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para obter uma matriz triangular superior, depois faremos a retro-substituição.

Passo 2

Usando x como pivô (primeira coluna), fazemos
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-3R_1
na matriz aumentada
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\\\ 2 & -1 & 3 & -1 & 5\\\\ 1 & 2 & -1 & 2 & 7\\\\ 3 & -1 & 1 & 1 & 8 \end{array}\right]
que vira
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\\\ 0 & -3 & 1 & -3 & -15\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 & -3\\\\ 0 & -4 & -2 & -2 & -22 \end{array}\right].

Passo 3

Para simplificar o pivô da segunda coluna, trocamos
R_2\leftrightarrow R_3,
ficando
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 & -3\\\\ 0 & -3 & 1 & -3 & -15\\\\ 0 & -4 & -2 & -2 & -22 \end{array}\right].
Em seguida eliminamos abaixo do pivô da segunda coluna:
R_3\leftarrow R_3+3R_2,\quad R_4\leftarrow R_4+4R_2
e obtemos
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & -5 & 0 & -24\\\\ 0 & 0 & -10 & 2 & -34 \end{array}\right].

Passo 4

Usamos o pivô -5 na terceira coluna para zerar R_4:
R_4\leftarrow R_4-2R_3
ficando a forma triangular
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & -5 & 0 & -24\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 14 \end{array}\right].

Passo 5

Fazemos retro-substituição:
1. Da quarta linha: 2w=14 \Rightarrow w=7.
2. Da terceira linha: -5z=-24 \Rightarrow z=\tfrac{24}{5}.
3. Da segunda linha: y-2z+w=-3 \Rightarrow y=-3+2\cdot\tfrac{24}{5}-7=-\tfrac{2}{5}. 4. Da primeira linha: x+y+z+w=10 \Rightarrow x=10-(-\tfrac{2}{5})-\tfrac{24}{5}-7=-\tfrac{7}{5}.

Resposta

x = -\frac{7}{5} y = -\frac{2}{5} z = \frac{24}{5} w = 7

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