Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando a fatoraçäo LU (sem pivoteamento parcial):
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 4 & 7 & 5 \\\\ 6 & 18 & 22\end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
Ax = b
onde
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 4 & 7 & 5\\\\ 6 & 18 & 22 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 7\end{pmatrix},
utilizando a fatoração LU sem pivoteamento parcial.
O conteúdo principal é decompor A em
A = LU,
onde L é triangular inferior com diagonal igual a 1 e U é triangular superior, e em seguida resolver por substituição direta ( Ly=b) e regressiva ( Ux=y).

Passo 2

Para obter L e U fazemos eliminações de Gauss sem trocar linhas. O primeiro multiplicador é
\ell_{21} = \frac{4}{2} = 2,\quad \ell_{31} = \frac{6}{2} = 3.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha de A da segunda e 3 vezes da terceira, obtemos
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 9 & 19 \end{pmatrix}.
O próximo multiplicador é
\ell_{32} = \frac{9}{1} = 9,
e subtraindo 9 vezes a segunda linha da terceira, chegamos em
U = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix}.
Assim
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 9 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 3

Resolvendo Ly=b por substituição direta:
\begin{cases} y_1 = 1,\\\ y_2 = 3 - 2y_1 = 3 - 2\cdot1 = 1,\\\ y_3 = 7 - 3y_1 -9y_2 = 7 -3\cdot1 -9\cdot1 = -5. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo Ux=y por substituição regressiva:
\begin{cases} -8\,x_3 = y_3 = -5 \;\Longrightarrow\; x_3 = \frac{5}{8},\\\ x_2 + 3\,x_3 = y_2 = 1 \;\Longrightarrow\; x_2 = 1 - 3\cdot\frac{5}{8} = -\frac{7}{8},\\\\ 2\,x_1 + 3\,x_2 + x_3 = y_1 = 1 \;\Longrightarrow\; 2\,x_1 = 1 - 3\bigl(-\tfrac{7}{8}\bigr) - \tfrac{5}{8} = 3 \;\Longrightarrow\; x_1 = \frac{3}{2}. \end{cases}

Resposta

x = \begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\\[6pt]-\frac{7}{8}\\[6pt]\frac{5}{8} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados