Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando a fatoraçäo LU (sem pivoteamento parcial):
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 5 \\\\ 4 & 0 & 5\end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{c}6 \\\\ 15 \\\\ 13\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
A x = b
com
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 5\\\\ 4 & 0 & 5 \end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}6\\\ 15\\\ 13\end{pmatrix}
usando fatoração LU sem pivoteamento parcial. Vamos primeiro fatorar A em L\,U, depois fazer substituição para encontrar x.

Passo 2

Aplicamos o método de Doolittle, assumindo
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ l_{21} & 1 & 0\\\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\\\ 0 & u_{22} & u_{23}\\\\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
Calculamos em sequência:
u_{11}=a_{11}=1,\quad u_{12}=a_{12}=1,\quad u_{13}=a_{13}=1,
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2,\quad l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{4}{1}=4,
u_{22}=a_{22}-l_{21}\,u_{12}=3-2\cdot1=1,\quad u_{23}=a_{23}-l_{21}\,u_{13}=5-2\cdot1=3,
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}\,u_{12}}{u_{22}} =\frac{0-4\cdot1}{1}=-4,\quad u_{33}=a_{33}-l_{31}\,u_{13}=5-4\cdot1=1.
Logo
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 4 & -4 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora resolvemos L\,y=b por substituição direta:
da primeira linha vem
y_{1}=6.
da segunda linha
2\,y_{1}+y_{2}=15 \quad\Longrightarrow\quad y_{2}=15-2\cdot6=3.
da terceira linha
4\,y_{1}-4\,y_{2}+y_{3}=13 \quad\Longrightarrow\quad y_{3}=13-4\cdot6+4\cdot3=1.
Portanto
y=\begin{pmatrix}6\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Em seguida resolvemos U\,x=y por retro-substituição:
da terceira linha
u_{33}\,x_{3}=y_{3} \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\frac{1}{1}=1.
da segunda linha
u_{22}\,x_{2}+u_{23}\,x_{3}=y_{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=3-3\cdot1=0.
da primeira linha
x_{1}+x_{2}+x_{3}=y_{1} \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=6-0-1=5.
Assim
x=\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}

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