Resolva o sistema linear usando a fatoração LU:
\left\{\begin{array}{rrrlr} 2.121 x_{1}-3.460 x_{2} & +5.217 & = & 3.23 \\\\ 5.193 x_{2}-2.197 x_{3}+4.206 x_{4} & = & 1.886 \\\\ 5.132 x_{1}+1.414 x_{2}+3.141 x_{3} & & =11.239 \\\\ -3.111 x_{1}-1.732 x_{2}+2.718 x_{3}+5.212 x_{4} & = & 1.972 \end{array}\right.
Trabalhe com pelo menos 3 casas decimais.
x_{1}=\square
x_{2}=\square
x_{3}=\square
x_{4}=\square

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando fatoração LU e trabalhar com pelo menos 3 casas decimais. Vou primeiro escrever o sistema em forma matricial e listar os dados que vou usar (peguei todos os coeficientes e termos independentes do enunciado). Assumindo que a primeira equação tem o termo 5{,}217x_{3} e coeficiente zero para x_{4}, o sistema é
\begin{pmatrix} 2{,}121 & -3{,}460 & 5{,}217 & 0 \\\\ 0 & 5{,}193 & -2{,}197 & 4{,}206 \\\\ 5{,}132 & 1{,}414 & 3{,}141 & 0 \\\\ -3{,}111 & -1{,}732 & 2{,}718 & 5{,}212 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3{,}23\\\ 1{,}886\\\ 11{,}239\\\ 1{,}972\end{pmatrix}.
O que se pede:
  • Encontrar x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} usando fatoração LU.
  • Trabalhar com pelo menos 3 casas decimais nos resultados.
Dados relevantes (copiados do enunciado):
  • Matriz A com linhas: \big[2{,}121,\,-3{,}460,\;5{,}217,\;0\big], \big[0,\;5{,}193,\,-2{,}197,\;4{,}206\big], \big[5{,}132,\;1{,}414,\;3{,}141,\;0\big], \big[-3{,}111,\,-1{,}732,\;2{,}718,\;5{,}212\big].
  • Vetor direito b=\big[3{,}23,\;1{,}886,\;11{,}239,\;1{,}972\big]^{T}.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (rápida explicação didática).
  • Vou usar a fatoração LU no formato de Doolittle: escrever A=L\,U com L triangular inferior com diagonal igual a 1 e U triangular superior.
  • Depois resolvo dois sistemas triangulares:
    1. L\,y=b (substituição direta/forward substitution) para obter y.
    2. U\,x=y (substituição retroativa/back substitution) para obter x.
Por que funciona (resumo didático): se A=L U, então A x = b implica L (U x) = b. Chamando y=U x, primeiro resolve-se L y = b (fácil pois L é triangular inferior com uns na diagonal) e depois U x = y (triangular superior).

Passo 3

Montagem inicial de L e U (passo de eliminação para a primeira coluna).
  • Começo por colocar a primeira linha de U igual à primeira linha de A: u_{11}=2{,}121,\quad u_{12}=-3{,}460,\quad u_{13}=5{,}217,\quad u_{14}=0.
  • As entradas l_{i1} de L (para i>1) são l_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}.Calculando: l_{21}=\frac{0}{2{,}121}=0,
l_{31}=\frac{5{,}132}{2{,}121}\approx 2{,}419613,
l_{41}=\frac{-3{,}111}{2{,}121}\approx -1{,}466667.
  • Agora atualizo as linhas 3 e 4 de A subtraindo l_{31} vezes a linha 1 e l_{41} vezes a linha 1, respectivamente, para obter os elementos provisórios de U nas colunas 2,3,4:
    • Para a linha 2 (já que l_{21}=0) os elementos de U permanecem iguais aos de A: u_{22}=5{,}193,\quad u_{23}=-2{,}197,\quad u_{24}=4{,}206.
    • Para a linha 3 (provisório): u_{32}=a_{32}-l_{31}u_{12}=1{,}414-2{,}419613(-3{,}460)\approx 9{,}785862,
u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}=3{,}141-2{,}419613(5{,}217)\approx -9{,}482121,
u_{34}=a_{34}-l_{31}u_{14}=0-2{,}419613(0)=0.
  • Para a linha 4 (provisório): u_{42}=a_{42}-l_{41}u_{12}=-1{,}732-(-1{,}466667)(-3{,}460)\approx -6{,}806667,
u_{43}=a_{43}-l_{41}u_{13}=2{,}718-(-1{,}466667)(5{,}217)\approx 10{,}369602,
u_{44}=a_{44}-l_{41}u_{14}=5{,}212-(-1{,}466667)(0)=5{,}212.
(Observação: todos os valores acima foram arredondados mantendo pelo menos 6 casas decimais internamente para reduzir acúmulo de erro; nas contas manuais de prova pode manter 3 a 4 casas decimais intermediárias.)

Passo 4

Eliminação usando a segunda linha (segunda coluna pivot).
  • Calcula-se os multiplicadores da segunda coluna: l_{32}=\frac{u_{32}}{u_{22}}=\frac{9{,}785862}{5{,}193}\approx 1{,}884433,
l_{42}=\frac{u_{42}}{u_{22}}=\frac{-6{,}806667}{5{,}193}\approx -1{,}310738.
  • Atualiza-se a partir da linha 2 (subtrai-se l_{3 2} vezes a linha 2 da linha 3 provisória, e l_{4 2} vezes a linha 2 da linha 4 provisória) para obter entradas finais nas colunas 3 e 4:
    • Linha 3: u_{33}\leftarrow u_{33}-l_{32}u_{23}\approx -9{,}482121 - 1{,}884433(-2{,}197)\approx -5{,}342022,
u_{34}\leftarrow u_{34}-l_{32}u_{24}\approx 0 - 1{,}884433(4{,}206)\approx -7{,}925924.
  • Linha 4: u_{43}\leftarrow u_{43}-l_{42}u_{23}\approx 10{,}369602 - (-1{,}310738)(-2{,}197)\approx 7{,}489910,
u_{44}\leftarrow u_{44}-l_{42}u_{24}\approx 5{,}212 - (-1{,}310738)(4{,}206)\approx 10{,}724964.

Passo 5

Eliminação usando a terceira linha (terceira coluna pivot) — último passo para obter U completa.
  • Calcula-se o multiplicador l_{43}: l_{43}=\frac{u_{43}}{u_{33}}=\frac{7{,}489910}{-5{,}342022}\approx -1{,}402074.
  • Atualiza-se u_{44}: u_{44}\leftarrow u_{44}-l_{43}u_{34}\approx 10{,}724964 - (-1{,}402074)(-7{,}925924)\approx -0{,}387771.
Agora temos L e U aproximados (mostro as entradas não triviais):
L\approx \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2{,}419613 & 1{,}884433 & 1 & 0\\[4pt] -1{,}466667 & -1{,}310738 & -1{,}402074 & 1 \end{pmatrix}, \quad U\approx \begin{pmatrix} 2{,}121 & -3{,}460 & 5{,}217 & 0\\[4pt] 0 & 5{,}193 & -2{,}197 & 4{,}206\\[4pt] 0 & 0 & -5{,}342022 & -7{,}925924\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -0{,}387771 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolução de L\,y=b por substituição direta (forward substitution).
  • y_{1}=b_{1}=3{,}23.
  • y_{2}=b_{2}-l_{21}y_{1}=1{,}886-0\cdot 3{,}23=1{,}886.
  • y_{3}=b_{3}-l_{31}y_{1}-l_{32}y_{2}. y_{3}\approx 11{,}239 - 2{,}419613(3{,}23) - 1{,}884433(1{,}886)\approx -0{,}130401.
  • y_{4}=b_{4}-l_{41}y_{1}-l_{42}y_{2}-l_{43}y_{3}. y_{4}\approx 1{,}972 - (-1{,}466667)(3{,}23) - (-1{,}310738)(1{,}886) - (-1{,}402074)(-0{,}130401)
\phantom{y_{4}\approx{}} \approx 8{,}998553.
Resultados intermediários:
y\approx\begin{pmatrix}3{,}23\\[2pt]1{,}886\\[2pt]-0{,}130401\\[2pt]8{,}998553\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolução de U\,x=y por substituição retroativa (back substitution).
  • Primeiro x_{4}=\dfrac{y_{4}}{u_{44}}: x_{4}\approx \frac{8{,}998553}{-0{,}387771}\approx -23{,}2059\approx -23{,}206\\ (\text{arred. 3 casas}).
  • Em seguida x_{3}=\dfrac{y_{3}-u_{34}x_{4}}{u_{33}}: x_{3}\approx \frac{-0{,}130401 - (-7{,}925924)(-23{,}2059)}{-5{,}342022} \approx \frac{-184{,}058608}{-5{,}342022}\approx 34{,}4173\approx 34{,}417.
  • Depois x_{2}=\dfrac{y_{2}-u_{23}x_{3}-u_{24}x_{4}}{u_{22}}: x_{2}\approx \frac{1{,}886 - (-2{,}197)(34{,}4173) - 4{,}206(-23{,}2059)}{5{,}193} \approx \frac{175{,}104836}{5{,}193}\approx 33{,}7194\approx 33{,}719.
  • Por fim x_{1}=\dfrac{y_{1}-u_{12}x_{2}-u_{13}x_{3}}{u_{11}}: x_{1}\approx \frac{3{,}23 - (-3{,}460)(33{,}7194) - 5{,}217(34{,}4173)}{2{,}121} \approx \frac{-59{,}65691}{2{,}121}\approx -28{,}1268\approx -28{,}127.
(Aqui mostrei a sequência de operações; cada divisão/subtração foi feita mantendo várias casas decimais internas e arredondando o resultado final para 3 casas decimais conforme pedido.)

Resposta

x_{1}=-28{,}127
x_{2}=33{,}719
x_{3}=34{,}417
x_{4}=-23{,}206

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