O enunciado pede para resolver o sistema linear usando fatoração LU e trabalhar com pelo menos 3 casas decimais. Vou primeiro escrever o sistema em forma matricial e listar os dados que vou usar (peguei todos os coeficientes e termos independentes do enunciado). Assumindo que a primeira equação tem o termo 5{,}217x_{3} e coeficiente zero para x_{4}, o sistema é
Trabalhar com pelo menos 3 casas decimais nos resultados.
Dados relevantes (copiados do enunciado):
Matriz A com linhas: \big[2{,}121,\,-3{,}460,\;5{,}217,\;0\big], \big[0,\;5{,}193,\,-2{,}197,\;4{,}206\big], \big[5{,}132,\;1{,}414,\;3{,}141,\;0\big], \big[-3{,}111,\,-1{,}732,\;2{,}718,\;5{,}212\big].
Escolha do método e ideia principal (rápida explicação didática).
Vou usar a fatoração LU no formato de Doolittle: escrever A=L\,U com L triangular inferior com diagonal igual a 1 e U triangular superior.
Depois resolvo dois sistemas triangulares:
L\,y=b (substituição direta/forward substitution) para obter y.
U\,x=y (substituição retroativa/back substitution) para obter x.
Por que funciona (resumo didático): se A=L U, então A x = b implica L (U x) = b. Chamando y=U x, primeiro resolve-se L y = b (fácil pois L é triangular inferior com uns na diagonal) e depois U x = y (triangular superior).
Passo 3
Montagem inicial de L e U (passo de eliminação para a primeira coluna).
Começo por colocar a primeira linha de U igual à primeira linha de A:u_{11}=2{,}121,\quad u_{12}=-3{,}460,\quad u_{13}=5{,}217,\quad u_{14}=0.
As entradas l_{i1} de L (para i>1) sãol_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}}.Calculando:l_{21}=\frac{0}{2{,}121}=0,
Agora atualizo as linhas 3 e 4 de A subtraindo l_{31} vezes a linha 1 e l_{41} vezes a linha 1, respectivamente, para obter os elementos provisórios de U nas colunas 2,3,4:
Para a linha 2 (já que l_{21}=0) os elementos de U permanecem iguais aos de A:u_{22}=5{,}193,\quad u_{23}=-2{,}197,\quad u_{24}=4{,}206.
Para a linha 3 (provisório):u_{32}=a_{32}-l_{31}u_{12}=1{,}414-2{,}419613(-3{,}460)\approx 9{,}785862,
(Observação: todos os valores acima foram arredondados mantendo pelo menos 6 casas decimais internamente para reduzir acúmulo de erro; nas contas manuais de prova pode manter 3 a 4 casas decimais intermediárias.)
Passo 4
Eliminação usando a segunda linha (segunda coluna pivot).
Calcula-se os multiplicadores da segunda coluna:l_{32}=\frac{u_{32}}{u_{22}}=\frac{9{,}785862}{5{,}193}\approx 1{,}884433,
Atualiza-se a partir da linha 2 (subtrai-se l_{3 2} vezes a linha 2 da linha 3 provisória, e l_{4 2} vezes a linha 2 da linha 4 provisória) para obter entradas finais nas colunas 3 e 4:
Linha 3:u_{33}\leftarrow u_{33}-l_{32}u_{23}\approx -9{,}482121 - 1{,}884433(-2{,}197)\approx -5{,}342022,
Por fim x_{1}=\dfrac{y_{1}-u_{12}x_{2}-u_{13}x_{3}}{u_{11}}:x_{1}\approx \frac{3{,}23 - (-3{,}460)(33{,}7194) - 5{,}217(34{,}4173)}{2{,}121} \approx \frac{-59{,}65691}{2{,}121}\approx -28{,}1268\approx -28{,}127.
(Aqui mostrei a sequência de operações; cada divisão/subtração foi feita mantendo várias casas decimais internas e arredondando o resultado final para 3 casas decimais conforme pedido.)