Resolva os sistemas abaixo usando eliminação gaussiana com substituição reversa, sem usar pivoteamento:
\left\{\begin{array}{c} 4 x_{1}-x_{2}+x_{3}=8 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=3 \\\ x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=11 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear e pede a solução do vetor (x_{1},x_{2},x_{3}):
\left\{\begin{array}{r} 4 x_{1}-x_{2}+x_{3}=8,\\[4pt] 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=3,\\[4pt] x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=11. \end{array}\right.
Informações relevantes:
  • Há três incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}\, e três equações.
  • O objetivo é resolver o sistema por eliminação gaussiana (sem pivoteamento) e usar substituição reversa para encontrar \,x_{1},x_{2},x_{3}\,.]

Passo 2

Breve explicação do que vamos fazer (didática curta e prática):
  • A eliminação gaussiana transforma o sistema numa forma triangular superior, eliminando as incógnitas abaixo dos pivôs por operações elementares em linhas.
  • Operações permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Aqui não faremos trocas de linhas (sem pivoteamento).
  • Escrevo o sistema como matriz aumentada e aplico operações linha a linha.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 8\\[4pt] 2 & 5 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 11 \end{array}\right]]

Passo 3

Eliminação da coluna 1 (usar 4 como pivô da primeira linha).
  • Para zerar o elemento da linha 2, coluna 1: multiplico a linha 1 por \tfrac{1}{2} e subtraio da linha 2. O multiplicador é m_{21}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
    Cálculo componente a componente:
    \begin{aligned} &\text{linha 2 nova}=\text{linha 2}-\tfrac{1}{2}\,\text{linha 1},\\[4pt] &\quad 2-\tfrac{1}{2}\cdot 4=0,\\[4pt] &\quad 5-\tfrac{1}{2}\cdot(-1)=5+\tfrac{1}{2}=\tfrac{11}{2},\\[4pt] &\quad 2-\tfrac{1}{2}\cdot 1=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2},\\[4pt] &\quad 3-\tfrac{1}{2}\cdot 8=3-4=-1. \end{aligned}
    Então a linha 2 fica \bigl[0,\tfrac{11}{2},\tfrac{3}{2}\mid -1\bigr].
  • Para zerar o elemento da linha 3, coluna 1: uso m_{31}=\dfrac{1}{4}.
    \begin{aligned} &\text{linha 3 nova}=\text{linha 3}-\tfrac{1}{4}\,\text{linha 1},\\[4pt] &\quad 1-\tfrac{1}{4}\cdot 4=0,\\[4pt] &\quad 2-\tfrac{1}{4}\cdot(-1)=2+\tfrac{1}{4}=\tfrac{9}{4},\\[4pt] &\quad 4-\tfrac{1}{4}\cdot 1=4-\tfrac{1}{4}=\tfrac{15}{4},\\[4pt] &\quad 11-\tfrac{1}{4}\cdot 8=11-2=9. \end{aligned}
    Então a linha 3 fica \bigl[0,\tfrac{9}{4},\tfrac{15}{4}\mid 9\bigr].]

Passo 4

Matriz aumentada após eliminar a coluna 1:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 8\\[4pt] 0 & \tfrac{11}{2} & \tfrac{3}{2} & -1\\[6pt] 0 & \tfrac{9}{4} & \tfrac{15}{4} & 9 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminação da coluna 2 (usar \tfrac{11}{2} como pivô da segunda linha).
  • O multiplicador para zerar o elemento da linha 3, coluna 2 é m_{32}=\dfrac{\tfrac{9}{4}}{\tfrac{11}{2}}=\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{2}{11}=\dfrac{9}{22}.
  • Aplico \text{linha 3} \leftarrow \text{linha 3} - m_{32}\,\text{linha 2}. Calculo cada entrada: \begin{aligned} &\text{coluna 2: }\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{22}\cdot\tfrac{11}{2}=\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{22}\cdot\tfrac{11}{2}=\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{4}=0,\\[6pt] &\text{coluna 3: }\tfrac{15}{4}-\tfrac{9}{22}\cdot\tfrac{3}{2} =\tfrac{15}{4}-\dfrac{27}{44} =\dfrac{165}{44}-\dfrac{27}{44} =\dfrac{138}{44} =\dfrac{69}{22},\\[6pt] &\text{lado direito: }9-\tfrac{9}{22}\cdot(-1)=9+\tfrac{9}{22} =\dfrac{198}{22}+\dfrac{9}{22} =\dfrac{207}{22}. \end{aligned}
  • Logo a linha 3 fica \bigl[0,0,\tfrac{69}{22}\mid \tfrac{207}{22}\bigr].]

Passo 6

Matriz aumentada triangular (pronta para substituição reversa):
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 8\\[4pt] 0 & \tfrac{11}{2} & \tfrac{3}{2} & -1\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{69}{22} & \tfrac{207}{22} \end{array}\right]
Agora faço substituição reversa: primeiro obtenho x_{3} da terceira linha.
Da terceira linha temos
\tfrac{69}{22}\,x_{3}=\tfrac{207}{22}.
Multiplico ambos os lados por 22 para simplificar:
69\,x_{3}=207.
Dividindo por 69,
x_{3}=\dfrac{207}{69}=3.]

Passo 7

Agora uso a segunda linha para achar x_{2}. A segunda linha diz
\tfrac{11}{2}\,x_{2}+\tfrac{3}{2}\,x_{3}=-1.
Substituo x_{3}=3:
\tfrac{11}{2}\,x_{2}+\tfrac{3}{2}\cdot 3=-1.
Calculo \tfrac{3}{2}\cdot 3=\tfrac{9}{2}, assim
\tfrac{11}{2}\,x_{2}+\tfrac{9}{2}=-1.
Passo \tfrac{9}{2} para o lado direito:
\tfrac{11}{2}\,x_{2}=-1-\tfrac{9}{2}=-\tfrac{11}{2}.
Dividindo ambos os lados por \tfrac{11}{2},
x_{2}=\dfrac{-\tfrac{11}{2}}{\tfrac{11}{2}}=-1.

Passo 8

Finalmente uso a primeira equação para achar x_{1}. A primeira equação é
4x_{1}-x_{2}+x_{3}=8.
Substituo x_{2}=-1 e x_{3}=3:
4x_{1}-(-1)+3=8.
Isso dá
4x_{1}+1+3=8 \quad\Rightarrow\quad 4x_{1}+4=8.
Portanto
4x_{1}=4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.

Passo 9

Verificação rápida (substituir a solução (1,-1,3) nas três equações originais):
  • Primeira: 4\cdot 1 -(-1)+3 =4+1+3=8 OK.
  • Segunda: 2\cdot 1 +5\cdot(-1)+2\cdot 3 =2-5+6=3 OK.
  • Terceira: 1+2\cdot(-1)+4\cdot 3 =1-2+12=11 OK.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-1
x_{3}=3

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