Usando método da Secante, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize os ponto iniciais indicados e informe o erro da aproximação segundo a métrica
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da secante para aproximar a raiz da função
e informar o erro da aproximação segundo a métrica
. Os dados fornecidos são:
-
. - Pontos iniciais:
e .
O que se quer explicitamente:
- A aproximação da raiz após duas iterações do método da secante (partindo de
e ). - O erro segundo a métrica fornecida, isto é o valor de
correspondente à última iteração (para que se possa comparar com um se for dado).
Passo 2
Explicando o método da secante (passo a passo, sem pressupor conhecimento prévio):
- A secante aproxima a raiz de
por interseção da reta que passa pelos pontos e com o eixo . - A fórmula iterativa é
Aqui:
-
e são as duas aproximações mais recentes; -
e são os valores da função nesses pontos; -
é a nova aproximação obtida pela secante. - Vamos aplicar essa fórmula duas vezes: primeiro para obter
(a partir de ) e depois para obter (a partir de ). A aproximação “após duas iterações” será .
Passo 3
Calcular os valores iniciais de
:
Para
:
Para
:
Em forma numérica (usando
):
Passo 4
Primeira iteração: calcular
com a fórmula da secante usando
e
:
Substituindo
e
:
Agora numericamente:
Passo 5
Calcular
. Precisamos de
com precisão razoável para a iteração seguinte.
- Usando
, calcula-se . Uma forma prática (sem calculadora simbólica) é usar uma aproximação por expansão em torno de (ou usar uma calculadora científica). Usando desenvolvimento de ordem suficiente encontra-se
logo
(Para fins de prova/avaliação aqui a precisão é suficiente; o valor de
é aproximadamente
.)
Passo 6
Segunda iteração: calcular
usando
e
:
Substituindo os valores numéricos:
Calculemos passo a passo (valores arredondados para manipulação; manteremos precisão razoável):
Então
Portanto
Passo 7
Calcular os erros segundo a métrica
:
- Erro entre
e :
- Erro entre
e (erro da aproximação após duas iterações):
Observação sobre
: o enunciado dá a métrica
mas não especifica o valor de
. Com os valores numéricos calculados acima pode-se verificar a desigualdade assim que for fornecido um
. Com os números encontrados:
- se
então a condição já é satisfeita após a segunda iteração; - se
então a condição não é satisfeita após a segunda iteração.
Resposta
Aproximação após duas iterações:
Erro segundo a métrica (diferença entre as duas últimas aproximações):