Usando método da Secante, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize os ponto iniciais indicados e informe o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon.
f(x)=x-\cos (x) \cdot p_{0}=0, p_{1}=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da secante para aproximar a raiz da função f(x)=x-\cos(x) e informar o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. Os dados fornecidos são:
  • f(x)=x-\cos(x).
  • Pontos iniciais: p_{0}=0 e p_{1}=\dfrac{\pi}{2}.
O que se quer explicitamente:
  • A aproximação da raiz após duas iterações do método da secante (partindo de p_{0} e p_{1}).
  • O erro segundo a métrica fornecida, isto é o valor de \left|p_{i}-p_{i-1}\right| correspondente à última iteração (para que se possa comparar com um \epsilon se for dado).

Passo 2

Explicando o método da secante (passo a passo, sem pressupor conhecimento prévio):
  • A secante aproxima a raiz de f por interseção da reta que passa pelos pontos \big(p_{n-1},f(p_{n-1})\big) e \big(p_n,f(p_n)\big) com o eixo x.
  • A fórmula iterativa é
p_{n+1}=p_n - f(p_n)\,\frac{p_n-p_{n-1}}{\,f(p_n)-f(p_{n-1})\,}.
Aqui:
  • p_{n-1} e p_n são as duas aproximações mais recentes;
  • f(p_{n-1}) e f(p_n) são os valores da função nesses pontos;
  • p_{n+1} é a nova aproximação obtida pela secante.
  • Vamos aplicar essa fórmula duas vezes: primeiro para obter p_{2} (a partir de p_{0},p_{1}) e depois para obter p_{3} (a partir de p_{1},p_{2}). A aproximação “após duas iterações” será p_{3}.

Passo 3

Calcular os valores iniciais de f:
f(p)=p-\cos(p).
Para p_{0}=0:
f(p_{0})=0-\cos(0)=0-1=-1.
Para p_{1}=\dfrac{\pi}{2}:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0, \qquad f(p_{1})=\dfrac{\pi}{2}-0=\dfrac{\pi}{2}.
Em forma numérica (usando \pi\approx3,1415926536):
p_{1}=\dfrac{\pi}{2}\approx1,5707963268, \qquad f(p_{1})\approx1,5707963268.

Passo 4

Primeira iteração: calcular p_{2} com a fórmula da secante usando p_{0} e p_{1}:
p_{2}=p_{1}-f(p_{1})\frac{p_{1}-p_{0}}{f(p_{1})-f(p_{0})}.
Substituindo f(p_{0})=-1 e f(p_{1})=p_{1}:
p_{2}=p_{1}-p_{1}\frac{p_{1}-0}{p_{1}-(-1)} = p_{1}\left(1-\frac{p_{1}}{p_{1}+1}\right) = p_{1}\cdot\frac{1}{p_{1}+1} =\frac{p_{1}}{p_{1}+1}.
Agora numericamente:
p_{2}=\frac{\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi}{2}+1} =\frac{1}{1+\tfrac{2}{\pi}} \approx0,6108652382.

Passo 5

Calcular f(p_{2})=p_{2}-\cos(p_{2}). Precisamos de \cos(p_{2}) com precisão razoável para a iteração seguinte.
  • Usando p_{2}\approx0,6108652382, calcula-se \cos(0,6108652382). Uma forma prática (sem calculadora simbólica) é usar uma aproximação por expansão em torno de 0,6 (ou usar uma calculadora científica). Usando desenvolvimento de ordem suficiente encontra-se
\cos(p_{2})\approx0,81915\quad(\text{aprox.}),
logo
f(p_{2})\approx0,6108652382-0,81915\approx-0,20828466.
(Para fins de prova/avaliação aqui a precisão é suficiente; o valor de f(p_{2}) é aproximadamente -0,20828.)

Passo 6

Segunda iteração: calcular p_{3} usando p_{1} e p_{2}:
p_{3}=p_{2}-f(p_{2})\frac{p_{2}-p_{1}}{f(p_{2})-f(p_{1})}.
Substituindo os valores numéricos:
p_{1}\approx1,5707963268,\quad p_{2}\approx0,6108652382,
f(p_{1})\approx1,5707963268,\quad f(p_{2})\approx-0,20828466.
Calculemos passo a passo (valores arredondados para manipulação; manteremos precisão razoável):
p_{2}-p_{1}\approx0,6108652382-1,5707963268=-0,9599310886,
f(p_{2})-f(p_{1})\approx-0,20828466-1,5707963268=-1,7790809868.
Então
\frac{p_{2}-p_{1}}{f(p_{2})-f(p_{1})}\approx\frac{-0,9599310886}{-1,7790809868}\approx0,5395658,
-f(p_{2})\frac{p_{2}-p_{1}}{f(p_{2})-f(p_{1})}\approx-(-0,20828466)\cdot0,5395658\approx0,1123950.
Portanto
p_{3}=p_{2}+0,1123950\approx0,6108652382+0,1123950\approx0,7232602382.

Passo 7

Calcular os erros segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|:
  • Erro entre p_{2} e p_{1}:
\left|p_{2}-p_{1}\right|\approx\left|0,6108652382-1,5707963268\right|\approx0,9599310886.
  • Erro entre p_{3} e p_{2} (erro da aproximação após duas iterações):
\left|p_{3}-p_{2}\right|\approx\left|0,7232602382-0,6108652382\right|\approx0,1123950000.
Observação sobre \epsilon: o enunciado dá a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon mas não especifica o valor de \epsilon. Com os valores numéricos calculados acima pode-se verificar a desigualdade assim que for fornecido um \epsilon. Com os números encontrados:
  • se \epsilon>0,112395 então a condição já é satisfeita após a segunda iteração;
  • se \epsilon\le0,112395 então a condição não é satisfeita após a segunda iteração.

Resposta

Aproximação após duas iterações: p_{3}\approx0,7232602382
Erro segundo a métrica (diferença entre as duas últimas aproximações): \left|p_{3}-p_{2}\right|\approx0,1123950000

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