Resolva os sistemas de equações linerares a seguir:
\left{ \begin{array}{l}2 x+3 y+z+3 t=6 \\y+z+t=0 \\x+y+z+2 t=6 \\3 x+3 z-4 t=7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas. As incógnitas são x\), \(y\), \(z\) e \(t\). As equações fornecidas são: \[\begin{cases} 2x+3y+z+3t=6,\\[4pt] y+z+t=0,\\[4pt] x+y+z+2t=6,\\[4pt] 3x+3z-4t=7. \end{cases}
O que precisamos encontrar é o valor de cada uma das incógnitas x\], \(y, z e t que satisfaça todas as quatro equações simultaneamente.]

Passo 2

Escolhemos começar isolando uma variável em uma equação simples para reduzir o número de incógnitas — estratégia prática e direta em provas. A equação mais simples é a segunda:
y+z+t=0.
Isolando y temos:
y = -z - t.
Aqui eu troquei a equação por uma expressão para y; isso é permitido porque as duas formas são equivalentes. Agora vou substituir essa expressão nas outras equações para eliminar y.

Passo 3

Substituo y=-z-t na primeira equação \,2x+3y+z+3t=6. Fazendo a substituição:
2x+3(-z-t)+z+3t=6.
Agora desenvolvo os parênteses e junto termos semelhantes passo a passo:
2x -3z -3t + z + 3t = 6.
Os termos em t cancelam ( -3t+3t=0). Agrupando os z:
2x + (-3z+z) = 6 \quad\Rightarrow\quad 2x -2z = 6.
Divido ambos os lados por 2 para simplificar:
x - z = 3.
Portanto isolamos x em função de z:
x = z + 3.

Passo 4

Agora substituo y=-z-t na terceira equação \,x+y+z+2t=6. Primeiro escrevo a substituição:
x + (-z-t) + z + 2t = 6.
Agrupando termos, noto que -z+z=0, então sobra:
x + (-t) + 2t = 6 \quad\Rightarrow\quad x + t = 6.
Mas no Passo 3 já obtivemos x = z + 3. Substituo essa expressão de x aqui:
(z+3) + t = 6.
Isolando t:
z + t + 3 = 6 \quad\Rightarrow\quad z + t = 3 \quad\Rightarrow\quad t = 3 - z.

Passo 5

Agora uso as expressões obtidas x=z+3, y=-z-t e t=3-z para resolver a quarta equação \,3x+3z-4t=7. Substituo x e t:
3(z+3) + 3z - 4(3 - z) = 7.
Desenvolvo e junto termos cuidadosamente:
3z + 9 + 3z - 12 + 4z = 7.
Somando os coeficientes de z: 3z+3z+4z = 10z. Somando constantes: 9-12 = -3. Logo:
10z - 3 = 7.
Isolando z:
10z = 10 \quad\Rightarrow\quad z = 1.

Passo 6

Com z=1 volto às expressões obtidas para achar t, x e y passo a passo.
Para t:
t = 3 - z = 3 - 1 = 2.
Para x:
x = z + 3 = 1 + 3 = 4.
Para y:
y = -z - t = -1 - 2 = -3.
Portanto os valores candidatos são x=4, y=-3, z=1, t=2.

Passo 7

Sempre bom checar: vamos substituir esses valores nas quatro equações originais para confirmar.
  1. Primeira equação \,2x+3y+z+3t:
2\cdot4 + 3\cdot(-3) + 1 + 3\cdot2 = 8 -9 +1 +6 = 6,
confere com o lado direito 6.
  1. Segunda equação \,y+z+t:
(-3) + 1 + 2 = 0,
confere com 0.
  1. Terceira equação \,x+y+z+2t:
4 + (-3) + 1 + 2\cdot2 = 4 -3 +1 +4 = 6,
confere com 6.
  1. Quarta equação \,3x+3z-4t:
3\cdot4 + 3\cdot1 - 4\cdot2 = 12 + 3 - 8 = 7,
confere com 7.
Todos os testes batem, logo a solução está correta.

Resposta

(x,y,z,t)=(4,-3,1,2)

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