Resolva os sistemas de equações linerares a seguir:
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas. As incógnitas são
O que precisamos encontrar é o valor de cada uma das incógnitas
,
e
que satisfaça todas as quatro equações simultaneamente.]
Passo 2
Escolhemos começar isolando uma variável em uma equação simples para reduzir o número de incógnitas — estratégia prática e direta em provas. A equação mais simples é a segunda:
Isolando
temos:
Aqui eu troquei a equação por uma expressão para
; isso é permitido porque as duas formas são equivalentes. Agora vou substituir essa expressão nas outras equações para eliminar
.
Passo 3
Substituo
na primeira equação
. Fazendo a substituição:
Agora desenvolvo os parênteses e junto termos semelhantes passo a passo:
Os termos em
cancelam (
). Agrupando os
:
Divido ambos os lados por
para simplificar:
Portanto isolamos
em função de
:
Passo 4
Agora substituo
na terceira equação
. Primeiro escrevo a substituição:
Agrupando termos, noto que
, então sobra:
Mas no Passo 3 já obtivemos
. Substituo essa expressão de
aqui:
Isolando
:
Passo 5
Agora uso as expressões obtidas
,
e
para resolver a quarta equação
. Substituo
e
:
Desenvolvo e junto termos cuidadosamente:
Somando os coeficientes de
:
. Somando constantes:
. Logo:
Isolando
:
Passo 6
Com
volto às expressões obtidas para achar
,
e
passo a passo.
Para
:
Para
:
Para
:
Portanto os valores candidatos são
,
,
,
.
Passo 7
Sempre bom checar: vamos substituir esses valores nas quatro equações originais para confirmar.
- Primeira equação
:
confere com o lado direito
.
- Segunda equação
:
confere com
.
- Terceira equação
:
confere com
.
- Quarta equação
:
confere com
.
Todos os testes batem, logo a solução está correta.