O enunciado dá o seguinte sistema linear (três equações e três incógnitas) e pede que eu o resolva usando fatoração LU sem pivotamento parcial, apresentando as matrizes L e U e o vetor solução:
e a instrução de usar fatoração LU sem pivotamento parcial (ou seja, fatorar A como A=LU com L triangular inferior e U triangular superior, sem permutar linhas).]
Passo 2
O que é fatoração LU (explicação didática curta)?
A ideia é escrever a matriz dos coeficientes A como produto de uma matriz triangular inferior L por uma triangular superior U:
A = L\,U.
Vou usar o método de Doolittle, que impõe que L tenha diagonal principal igual a 1 (unidade) e U seja triangular superior. Assim, para uma 3\times3 temos as formas:
U\mathbf{x}=\mathbf{y} (substituição retroativa/back substitution).
Isso costuma ser mais organizado e eficiente, especialmente para sistemas múltiplos com a mesma A.]
Passo 3
Como obter os parâmetros de L e U (regra prática):
Multiplico L por U e igualo aos elementos de A. As igualdades elemento a elemento fornecem fórmulas:
Primeiro elemento u_{11}=a_{11}.
Para a primeira linha de U: u_{12}=a_{12}, u_{13}=a_{13}.
Para os multiplicadores da primeira coluna de L: \ell_{21}=a_{21}/u_{11}, \ell_{31}=a_{31}/u_{11}.
Depois u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}, u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}.
\ell_{32}=(a_{32}-\ell_{31}u_{12})/u_{22}.
Por fim u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}.
Vou aplicar essas fórmulas diretamente ao nosso A.
Passo 4
Calcular os primeiros elementos de U e os multiplicadores da primeira coluna de L:
Da matriz A temos a_{11}=1, a_{12}=-1, a_{13}=1, a_{21}=2, a_{31}=3.