Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando fatoração LU sem pivotamento parcial. Apresente as matrizes L e U e o vetor solução.
\left\{ \begin{array}{l} x-y+z=2 \\\\ 2 x+y+3 z=9 \\\\ 3 x+2 y+z=10 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear (três equações e três incógnitas) e pede que eu o resolva usando fatoração LU sem pivotamento parcial, apresentando as matrizes L e U e o vetor solução:
\left\{ \begin{array}{l} x-y+z=2 \\\\ 2 x+y+3 z=9 \\\\ 3 x+2 y+z=10 \end{array} \right.
As informações relevantes que temos explicitamente são:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]9\\[4pt]10\end{pmatrix},
e a instrução de usar fatoração LU sem pivotamento parcial (ou seja, fatorar A como A=LU com L triangular inferior e U triangular superior, sem permutar linhas).]

Passo 2

O que é fatoração LU (explicação didática curta)?
  • A ideia é escrever a matriz dos coeficientes A como produto de uma matriz triangular inferior L por uma triangular superior U:
A = L\,U.
  • Vou usar o método de Doolittle, que impõe que L tenha diagonal principal igual a 1 (unidade) e U seja triangular superior. Assim, para uma 3\times3 temos as formas:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
  • Explicar por que isso ajuda: em vez de resolver A\mathbf{x}=\mathbf{b} direto, resolvemos duas etapas fáceis:
    1. L\mathbf{y}=\mathbf{b} (substituição direta/forward substitution),
    2. U\mathbf{x}=\mathbf{y} (substituição retroativa/back substitution).
      Isso costuma ser mais organizado e eficiente, especialmente para sistemas múltiplos com a mesma A.]

Passo 3

Como obter os parâmetros de L e U (regra prática):
  • Multiplico L por U e igualo aos elementos de A. As igualdades elemento a elemento fornecem fórmulas:
    • Primeiro elemento u_{11}=a_{11}.
    • Para a primeira linha de U: u_{12}=a_{12}, u_{13}=a_{13}.
    • Para os multiplicadores da primeira coluna de L: \ell_{21}=a_{21}/u_{11}, \ell_{31}=a_{31}/u_{11}.
    • Depois u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}, u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}.
    • \ell_{32}=(a_{32}-\ell_{31}u_{12})/u_{22}.
    • Por fim u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}.
  • Vou aplicar essas fórmulas diretamente ao nosso A.

Passo 4

Calcular os primeiros elementos de U e os multiplicadores da primeira coluna de L:
  • Da matriz A temos a_{11}=1, a_{12}=-1, a_{13}=1, a_{21}=2, a_{31}=3.
  • Então
u_{11}=a_{11}=1,\qquad u_{12}=a_{12}=-1,\qquad u_{13}=a_{13}=1.
  • E os multiplicadores:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{3}{1}=3.

Passo 5

Calcular u_{22} e u_{23} usando as fórmulas:
  • Usando u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}. Temos a_{22}=1, \ell_{21}=2, u_{12}=-1. Então
u_{22}=1-2\cdot(-1)=1+2=3.
  • Usando u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}. Temos a_{23}=3, u_{13}=1, então
u_{23}=3-2\cdot 1=3-2=1.

Passo 6

Calcular \ell_{32} e u_{33}:
  • Primeiro \ell_{32}=\dfrac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}}. Com a_{32}=2, \ell_{31}=3, u_{12}=-1, u_{22}=3:
\ell_{32}=\frac{2-3\cdot(-1)}{3}=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3}.
  • Agora u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}. Com a_{33}=1, \ell_{31}=3, u_{13}=1, \ell_{32}=5/3, u_{23}=1:
u_{33}=1-3\cdot 1 - \frac{5}{3}\cdot 1 = 1-3-\frac{5}{3} = -2-\frac{5}{3} = -\frac{11}{3}.

Passo 7

Escrever as matrizes L e U obtidas:
  • Reunindo os valores que calculamos:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 3 & \dfrac{5}{3} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{11}{3} \end{pmatrix}.
  • Verificação rápida (opcional, mental): multiplicando L por U devemos recuperar A; os elementos que usamos para obter os coeficientes garantem isso.]

Passo 8

Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por forward substitution (explicando o método):
  • Forward substitution: para matriz triangular inferior com diagonal de 1, resolvemos y_1,y_2,y_3 sequencialmente:
    • y_1=b_1.
    • y_2=b_2-\ell_{21}y_1.
    • y_3=b_3-\ell_{31}y_1-\ell_{32}y_2.
  • Aplicando aos nossos números ( \mathbf{b}=(2,9,10)^T):
y_1=2.
y_2=9-\ell_{21}y_1=9-2\cdot 2=9-4=5.
y_3=10-3\cdot 2-\frac{5}{3}\cdot 5=10-6-\frac{25}{3}=4-\frac{25}{3}=\frac{12-25}{3}=-\frac{13}{3}.
  • Assim
\mathbf{y}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]-\dfrac{13}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por back substitution (explicando o método):
  • Back substitution: para matriz triangular superior, resolvemos de baixo para cima:
    • Da terceira equação: u_{33}x_3 = y_3 resolve x_3.
    • Depois segunda: u_{22}x_2 + u_{23}x_3 = y_2 resolve x_2.
    • Finalmente primeira: u_{11}x_1 + u_{12}x_2 + u_{13}x_3 = y_1 resolve x_1.
  • Aplicando aos valores:
    • Terceira equação:
    -\frac{11}{3} x_3 = -\frac{13}{3}\quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{13}{11}.
    • Segunda equação:
    3 x_2 + 1\cdot x_3 = 5 \quad\Rightarrow\quad 3x_2 = 5 - x_3 = 5 - \frac{13}{11} = \frac{55-13}{11}=\frac{42}{11},então x_2=\frac{42}{11}\cdot\frac{1}{3}=\frac{42}{33}=\frac{14}{11}.
    • Primeira equação:
    x_1 - x_2 + x_3 = 2 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 2 + x_2 - x_3 = 2 + \frac{14}{11} - \frac{13}{11} = 2 + \frac{1}{11} = \frac{23}{11}.
  • Então a solução é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}\dfrac{23}{11}\\[6pt]\dfrac{14}{11}\\[6pt]\dfrac{13}{11}\end{pmatrix}.]

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]3 & \dfrac{5}{3} & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]0 & 0 & -\dfrac{11}{3}\end{pmatrix}
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}\dfrac{23}{11}\\[6pt]\dfrac{14}{11}\\[6pt]\dfrac{13}{11}\end{pmatrix}]

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