Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando a fatoraçäo LU (sem pivoteamento parcial):
A=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 4 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2 & 1 \\\\ 6 & 5 & 4 & 3\end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
A x = b,\quad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 4 & 3 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 2 & 1\\\\ 6 & 5 & 4 & 3 \end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},
usando fatoração LU (Doolittle) sem pivoteamento. Vamos obter matrizes L (unitária inferior) e U (triangular superior), depois resolver L\,y=b e U\,x=y.

Passo 2

Primeiro pivô: u_{11}=a_{11}=2.
Calculamos as entradas da primeira coluna de L:
\ell_{21} = \frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{4}{2}=2,\quad \ell_{31}=\frac{2}{2}=1,\quad \ell_{41}=\frac{6}{2}=3.
A primeira linha de U é igual à primeira linha de A:
(u_{1j})_{j=1\ldots4} = (2,\;1,\;0,\;0).

Passo 3

Eliminando pela coluna 1 definimos a submatriz reduzida e tiramos o segundo pivô:
u_{22} = a_{22}-\ell_{21}u_{12} =3-2\cdot1=1.
As novas entradas de L na coluna 2 são
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}} =\frac{1-1\cdot1}{1}=0, \quad \ell_{42}=\frac{5-3\cdot1}{1}=2.
E a segunda linha de U (colunas 2–4) fica
(u_{2j})_{j=2\ldots4} = (1,\;1,\;0).

Passo 4

Eliminando pelas colunas 1 e 2, obtemos o terceiro pivô
u_{33} = a_{33} - \ell_{31}u_{13} - \ell_{32}u_{23} =2-1\cdot0-0\cdot1=2,
e
\ell_{43} =\frac{\,a_{43}-\ell_{41}u_{13}-\ell_{42}u_{23}\,}{u_{33}} =\frac{4-3\cdot0-2\cdot1}{2}=1.
Finalmente, a quarta diagonal de U é
u_{44} = a_{44} - \ell_{41}u_{14} - \ell_{42}u_{24} - \ell_{43}u_{34} =3-3\cdot0-2\cdot0-1\cdot1=2.
Logo
L = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 2&1&0&0\\\\ 1&0&1&0\\\\ 3&2&1&1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 2&1&0&0\\\\ 0&1&1&0\\\\ 0&0&2&1\\\\ 0&0&0&2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Resolvendo L\,y=b\) por substituição direta: \[\begin{cases} y_1 = 1,\\\ y_2 = 2 - 2\,y_1 = 2 - 2\cdot1 = 0,\\\ y_3 = 3 - 1\cdot y_1 - 0\cdot y_2 = 3 -1 = 2,\\\ y_4 = 4 - 3\cdot y_1 -2\cdot y_2 -1\cdot y_3 = 4 -3 -2 = -1. \end{cases}
Portanto (y = (1,0,2,-1)^T].

Passo 6

Resolvendo U\,x=y por substituição retroativa:
\begin{cases} x_4 = \frac{y_4}{u_{44}} = \frac{-1}{2} = -\tfrac12,\\\ x_3 = \frac{y_3 - u_{34}x_4}{u_{33}} = \frac{2 - 1\cdot(-\tfrac12)}{2} = \frac{2{+}\tfrac12}{2} = \tfrac54,\\\ x_2 = \frac{y_2 - u_{23}x_3}{u_{22}} = \frac{0 - 1\cdot\tfrac54}{1} = -\tfrac54,\\\ x_1 = \frac{y_1 - u_{12}x_2}{u_{11}} = \frac{1 - 1\cdot(-\tfrac54)}{2} = \frac{1{+}\tfrac54}{2} = \tfrac{9}{8}. \end{cases}

Resposta

x = \begin{pmatrix} \tfrac{9}{8}\\\\ -\tfrac{5}{4}\\\ \tfrac{5}{4}\\\\ -\tfrac12 \end{pmatrix}.

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