Verifique que as funções dadas são soluções da equação de onda u_{t t}= c^{2} u_{x x} com c apropriado:
(a) u=4 x^{2}+t^{2}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos verificar que a função
u(x,t)=4x^{2}+t^{2}
satisfaz a equação de onda
u_{tt}=c^{2}u_{xx}
para algum valor de c. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em t e em x.

Passo 2

Calculemos primeiro
u_{tt}=\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\bigl(4x^{2}+t^{2}\bigr)=2,
pois 4x^{2} não depende de t, e
u_{xx}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\bigl(4x^{2}+t^{2}\bigr)=8,
pois t^{2} não depende de x.

Passo 3

Para que
u_{tt}=c^{2}u_{xx}
devemos ter
2=c^{2}\cdot 8 \quad\Longrightarrow\quad c^{2}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{1}{2}.

Resposta

c=\tfrac{1}{2}

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