Resolver usando o método de Gauss.
\left[\begin{array}{ccccc} x & +6 y & +2 z & +4 w & =31 \\\\ 3 x & +19 y & +4 z & +15 w & =105 \\\ x & +4 y & +8 z & +12 w & =17 \\\\ 5 x & +33 y & +9 z & +3 w & =155 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Gauss, o sistema linear
\begin{cases} x + 6y + 2z + 4w = 31,\\\\ 3x + 19y + 4z + 15w = 105,\\\ x + 4y + 8z + 12w = 17,\\\\ 5x + 33y + 9z + 3w = 155. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de variáveis via operações elementares em linhas de matriz aumentada.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x das linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 31\\\\ 3 & 19 & 4 & 15 & 105\\\\ 1 & 4 & 8 & 12 & 17\\\\ 5 & 33 & 9 & 3 & 155 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\substack{L_2\to L_2-3L_1\L_3\to L_3-L_1\L_4\to L_4-5L_1}}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 31\\\\ 0 & 1 & -2 & 3 & 12\\\\ 0 & -2 & 6 & 8 & -14\\\\ 0 & 3 & -1 & -17 & 0 \end{array}\right]

Passo 3

Usamos a segunda linha ( y pivô) para zerar a coluna y em L_3 e L_4:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 31\\\\ 0 & 1 & -2 & 3 & 12\\\\ 0 & -2 & 6 & 8 & -14\\\\ 0 & 3 & -1 & -17 & 0 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\substack{L_3\to L_3+2L_2\L_4\to L_4-3L_2}}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 31\\\\ 0 & 1 & -2 & 3 & 12\\\\ 0 & 0 & 2 & 14 & 10\\\\ 0 & 0 & 5 & -26 & -36 \end{array}\right]

Passo 4

Agora usamos a terceira linha ( z pivô) para zerar a coluna z em L_4:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 31\\\\ 0 & 1 & -2 & 3 & 12\\\\ 0 & 0 & 2 & 14 & 10\\\\ 0 & 0 & 5 & -26 & -36 \end{array}\right] \;\xrightarrow{L_4\to L_4-\tfrac52\,L_3}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 31\\\\ 0 & 1 & -2 & 3 & 12\\\\ 0 & 0 & 2 & 14 & 10\\\\ 0 & 0 & 0 & -61 & -61 \end{array}\right]

Passo 5

Fazendo a retro-substituição:
Da última linha,
-61w = -61\;\implies\;w = 1.
Substituindo em 2z + 14w = 10:
2z + 14\cdot1 = 10\;\implies\;2z = -4\;\implies\;z = -2.
Na segunda linha, y - 2z + 3w = 12:
y - 2(-2) + 3\cdot1 = 12\;\implies\;y + 4 + 3 = 12\;\implies\;y = 5.
Finalmente, na primeira linha, x + 6y + 2z + 4w = 31:
x + 6\cdot5 + 2(-2) + 4\cdot1 = 31\;\implies\;x + 30 - 4 + 4 = 31\;\implies\;x = 1.

Resposta

x = 1,\;y = 5,\;z = -2,\;w = 1

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