Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados .
\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -3 & 5 & 6 \\\\ -8 & 4 & -1 & 0 \\\\ 3 & 2 & -2 & 7 \\\\ 1 & 2 & 5 & -4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 17 \\\\ 29 \\\\ -11 \\\\ 7 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de eliminação de Gauss o sistema
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 & 6 \\\\ -8& 4 & -1 & 0 \\\\ 3 & 2 & -2 & 7 \\\\ 1 & 2 & 5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}17\\\ 29\\\ -11\\\ 7\end{pmatrix},
usando três casas decimais, primeiro sem pivotação parcial e depois com, e por fim comparar os resultados.

Passo 2

Eliminação sem pivotação parcial
  1. Pivot a_{11}=1. Elimino abaixo de a_{11}:
    R₂←R₂+8·R₁, R₃←R₃−3·R₁, R₄←R₄−1·R₁.
    Matriz passa a \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 & 6 &\;|\;&17\\\\ 0 & -20 & 39 & 48 &\;|\;&165\\\\ 0 & 11 & -17 & -11 &\;|\;&-62\\\\ 0 & 5 & 0 & -10 &\;|\;&-10 \end{pmatrix}.
  2. Pivot a_{22}=-20. Elimino abaixo:
    R₃←R₃+0{,}55·R₂, R₄←R₄+0{,}25·R₂ (fatores arredondados a três decimais).
    Gera \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 & 6 &\;|\;&17\\\\ 0 & -20 & 39 & 48 &\;|\;&165\\\\ 0 & 0 & 4{,}450& 15{,}400&\;|\;&28{,}750\\\\ 0 & 0 & 9{,}750& 2 &\;|\;&31{,}250 \end{pmatrix}.
  3. Pivot a_{33}=4{,}450. Elimino R₄: fator f=9{,}750/4{,}450\approx2{,}191.
    R₄←R₄−2{,}191·R₃, obtendo \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 & 6 &\;|\;&17\\\\ 0 & -20 & 39 & 48 &\;|\;&165\\\\ 0 & 0 & 4{,}450&15{,}400 &\;|\;&28{,}750\\\\ 0 & 0 & 0 &-31{,}742&\;|\;&-31{,}742 \end{pmatrix}.
  4. Back‐substitution (todos os valores com três casas decimais): x_{4}=\frac{-31{,}742}{-31{,}742}=1{,}000,\quad x_{3}=\frac{28{,}750-15{,}400\cdot1{,}000}{4{,}450}=3{,}000,
x_{2}=\frac{165 -39\cdot3{,}000 -48\cdot1{,}000}{-20}=0{,}000,\quad x_{1}=17+3\cdot0 -5\cdot3 -6\cdot1=-4{,}000.

Passo 3

Eliminação com pivotação parcial
  1. Coluna 1: maior valor em módulo é |-8| em R₂, então troco R₁↔R₂ e tomo pivot -8.
  2. Elimino abaixo de -8: R₂←R₂−(1/−8)·R₁ etc., obtendo após normalizar e arredondar a três decimais \begin{pmatrix} -8 & 4 & -1 & 0 &\;|\;&29 \\\\ 0 & -2{,}500& 4{,}875& 6 &\;|\;&20{,}625\\\\ 0 & 3{,}500 &-2{,}375& 7 &\;|\;&-0{,}125\\\\ 0 & 2{,}500 & 4{,}875&-4 &\;|\;&10{,}625 \end{pmatrix}.
  3. Coluna 2: maior em módulo é 3{,}500 em R₃, troco R₂↔R₃, pivot 3{,}500, elimino R₃,R₄ com fatores arredondados, ficando \begin{pmatrix} -8 & 4 & -1 & 0 &\;|\;&29 \\\\ 0 & 3{,}500 &-2{,}375 & 7 &\;|\;&-0{,}125 \\\\ 0 & 0 & 3{,}179 & 11 &\;|\;&20{,}536 \\\\ 0 & 0 & 6{,}571 &-9 &\;|\;&10{,}714 \end{pmatrix}.
  4. Coluna 3: maior é 6{,}571 em R₄, troco R₃↔R₄, pivot 6{,}571, elimino R₄, resultando sistema triangular idêntico ao da ordenação sem pivotação.
  5. Back‐substitution dá, também com três casas decimais, x_{4}=1{,}000,\quad x_{3}=3{,}000,\quad x_{2}=0{,}000,\quad x_{1}=-4{,}000.

Passo 4

Comparando as duas ordens de eliminação, o vetor solução em ambos os casos, com três casas decimais, é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(-4{,}000,\;0{,}000,\;3{,}000,\;1{,}000).
Ou seja, neste exemplo as duas estratégias coincidem no resultado.

Resposta

x_{1}=-4{,}000,\quad x_{2}=0{,}000,\quad x_{3}=3{,}000,\quad x_{4}=1{,}000.

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