Resolver os sistemas usando método de fatoração LU
\begin{array}{r}3 x_{1}^{(k)}+2 x_{2}^{(k)}+4 x_{3}^{(k)}=1 \x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}=2 \\\ 4 x_{1}^{(k)}+3 x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}=3\end{array}
Dado: S y^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right)^{T}, S x^{(1)}=\left(\begin{array}{lll}1,2 & 0,92 & 2,1\end{array}\right)^{T}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1,\\\ x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2,\\\\ 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=3 \end{cases}
usando fatoração LU. Isso significa escrever A=LU, onde
A=\begin{pmatrix}3&2&4\\\ 1&1&2\\\ 4&3&2\end{pmatrix},
L é triangular inferior com 1’s na diagonal e U é triangular superior. Depois resolvemos Ly=b por substituição direta e, em seguida, Ux=y por substituição regressiva.

Passo 2

Aplicando o método de Doolittle temos as entradas de U na primeira linha e de L na primeira coluna:
u_{11}=3,\quad u_{12}=2,\quad u_{13}=4,
\ell_{21}=\frac{1}{3},\quad \ell_{31}=\frac{4}{3}.
Em seguida calculamos
u_{22}=1-\ell_{21}u_{12} =1-\tfrac{1}{3}\cdot2=\tfrac{1}{3}, \quad u_{23}=2-\ell_{21}u_{13} =2-\tfrac{1}{3}\cdot4=\tfrac{2}{3},
\ell_{32}=\frac{3-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}} =\frac{3-\tfrac{4}{3}\cdot2}{\tfrac{1}{3}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}}=1,
u_{33}=2-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23} =2-\tfrac{4}{3}\cdot4-1\cdot\tfrac{2}{3} =2-\tfrac{16}{3}-\tfrac{2}{3}=-4.
Logo
L=\begin{pmatrix} 1&0&0\\[6pt] \tfrac{1}{3}&1&0\\[6pt] \tfrac{4}{3}&1&1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 3&2&4\\[3pt] 0&\tfrac{1}{3}&\tfrac{2}{3}\\[3pt] 0&0&-4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Resolvemos Ly=b com b=(1,2,3)^T por substituição direta:
y_{1}=1, \quad y_{2}=2-\tfrac{1}{3}\cdot y_{1} =2-\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{3},
y_{3}=3-\tfrac{4}{3}\cdot y_{1}-1\cdot y_{2} =3-\tfrac{4}{3}-\tfrac{5}{3}=0.

Passo 4

Agora resolvemos Ux=y por substituição regressiva:
-4\,x_{3}=y_{3}=0 \;\Longrightarrow\; x_{3}=0,
\tfrac{1}{3}x_{2}+\tfrac{2}{3}x_{3}=y_{2}=\tfrac{5}{3} \;\Longrightarrow\; x_{2}=5,
3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=y_{1}=1 \;\Longrightarrow\; 3x_{1}+2\cdot5=1 \;\Longrightarrow\; x_{1}=-3.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(-3,\;5,\;0).

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