Resolver os sistemas usando método de fatoração LU \begin{aligned}x_{1}^{(k)}-2 x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)} & =0 \\\ 2 x_{1}^{(k)}-2 x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)} & =1 \\\ 3 x_{1}^{(k)}-2 x_{2}^{(k)}-2 x_{3}^{(k)} & =-1\end{aligned} Dado: S_{y}^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right)^{T}, S_{x}^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1,2 & 1,3\end{array}\right)^{T} Passo 1O enunciado pede para resolver o sistema \begin{cases} x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0,\\\\ 2x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1,\\\\ 3x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=-1 \end{cases} usando fatoração LU. Vamos escrever A e \mathbf b como A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & -2 & 1\\\\ 3 & -2 & -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}. O método consiste em fatorar A=LU com L triangular inferior (diag.\ 1) e U triangular superior, depois resolver L\mathbf y=\mathbf b e em seguida U\mathbf x=\mathbf y. Passo 2Fatoração de Doolittle ( L com 1’s na diagonal): Linha 1 de U: u_{11}=1,\quad u_{12}=-2,\quad u_{13}=1. Multiplicadores da coluna 1 para L: \ell_{21}=\frac{2}{1}=2,\quad \ell_{31}=\frac{3}{1}=3. Elementos da linha 2 de U: u_{22}=-2-\ell_{21}u_{12}=-2-2(-2)=2, \quad u_{23}=1-\ell_{21}u_{13}=1-2\cdot1=-1. Multiplicador da coluna 2 para L: \ell_{32}=\frac{-2-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}} =\frac{-2-3(-2)}{2}=\frac{4}{2}=2. Último elemento de U: u_{33}=-2-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23} =-2-3\cdot1-2(-1)=-3. Logo L=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\ 2&1&0\\\ 3&2&1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 1&-2&1\\\ 0&2&-1\\\ 0&0&-3 \end{pmatrix}. Passo 3Resolver L\mathbf y=\mathbf b por substituição direta: y_{1}=0, \quad y_{2}=1-2\,y_{1}=1, \quad y_{3}=-1-3\,y_{1}-2\,y_{2}=-1-0-2=-3. Assim \mathbf y=(0,1,-3)^{T}. Passo 4Resolver U\mathbf x=\mathbf y por substituição reversa: -3\,x_{3}=y_{3}=-3\quad\Rightarrow\quad x_{3}=1, 2\,x_{2}-1\cdot x_{3}=y_{2}=1\quad\Rightarrow\quad 2x_{2}-1=1\;\Rightarrow\;x_{2}=1, x_{1}-2\,x_{2}+x_{3}=y_{1}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}-2+1=0\;\Rightarrow\;x_{1}=1. Resposta \mathbf x =\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolver os sistemas usando método de fatoração LU \begin{array}{r}3 x_{1}^{(k)}+2 x_{2}^{(k)}+4 x_{3}^{(k)}=1 \x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}=2 \\\ 4 x_{1}^{(k)}+3 x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}=3\end{array} Dado: S y^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right)^{T}, S x^{(1)}=\left(\begin{array}{lll}1,2 & 0,92 & 2,1\end{array}\right)^{T} Resolver os sistemas pelo método de eliminação de Gauss \begin{aligned}& \begin{cases}x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}+4 x_{4}^{(k)} & =7,12 \x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}+5 x_{3}^{(k)}+6 x_{4}^{(k)} & =12,02 \\\ 2 x_{1}^{(k)}+5 x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}+2 x_{4}^{(k)} & =14,9 \\\ 4 x_{1}^{(k)}+6 x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}+x_{4}^{(k)} & =20,7\end{cases} \\& S x^{(0)}=(-0,92-1,23-0,71-1,11)^{T}\end{aligned} Resolver a equação quadrática f(x)=x^{2}+88.4 x+8.0 usando 4 algarismos significativos em cada operação aritmética. Raiz menor \square Raiz maior \square Certifique-se de estar arredondando a cada operação realizada. Determine todas as raízes da equação x^{3}-0.925935 x^{2}-12.753048 x+19.377388 =0, com pelo menos 4 casas decimais exatas. Para isso, inicie pela primeira raiz positiva. Primeira raiz positiva \square Segunda raiz positiva \square Terceira raiz \square