Resolver os sistemas usando método de fatoração LU
\begin{aligned}x_{1}^{(k)}-2 x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)} & =0 \\\ 2 x_{1}^{(k)}-2 x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)} & =1 \\\ 3 x_{1}^{(k)}-2 x_{2}^{(k)}-2 x_{3}^{(k)} & =-1\end{aligned}
Dado: S_{y}^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right)^{T}, S_{x}^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1,2 & 1,3\end{array}\right)^{T}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0,\\\\ 2x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1,\\\\ 3x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=-1 \end{cases}
usando fatoração LU. Vamos escrever A e \mathbf b como
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & -2 & 1\\\\ 3 & -2 & -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
O método consiste em fatorar A=LU com L triangular inferior (diag.\ 1) e U triangular superior, depois resolver L\mathbf y=\mathbf b e em seguida U\mathbf x=\mathbf y.

Passo 2

Fatoração de Doolittle ( L com 1’s na diagonal):
  1. Linha 1 de U:
u_{11}=1,\quad u_{12}=-2,\quad u_{13}=1.
  1. Multiplicadores da coluna 1 para L:
\ell_{21}=\frac{2}{1}=2,\quad \ell_{31}=\frac{3}{1}=3.
  1. Elementos da linha 2 de U:
u_{22}=-2-\ell_{21}u_{12}=-2-2(-2)=2, \quad u_{23}=1-\ell_{21}u_{13}=1-2\cdot1=-1.
  1. Multiplicador da coluna 2 para L:
\ell_{32}=\frac{-2-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}} =\frac{-2-3(-2)}{2}=\frac{4}{2}=2.
  1. Último elemento de U:
u_{33}=-2-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23} =-2-3\cdot1-2(-1)=-3.
Logo
L=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\ 2&1&0\\\ 3&2&1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 1&-2&1\\\ 0&2&-1\\\ 0&0&-3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Resolver L\mathbf y=\mathbf b por substituição direta:
y_{1}=0, \quad y_{2}=1-2\,y_{1}=1, \quad y_{3}=-1-3\,y_{1}-2\,y_{2}=-1-0-2=-3.
Assim \mathbf y=(0,1,-3)^{T}.

Passo 4

Resolver U\mathbf x=\mathbf y por substituição reversa:
-3\,x_{3}=y_{3}=-3\quad\Rightarrow\quad x_{3}=1,
2\,x_{2}-1\cdot x_{3}=y_{2}=1\quad\Rightarrow\quad 2x_{2}-1=1\;\Rightarrow\;x_{2}=1,
x_{1}-2\,x_{2}+x_{3}=y_{1}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}-2+1=0\;\Rightarrow\;x_{1}=1.

Resposta

\mathbf x =\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

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