As respostas dos exercícios abaixo deve ser justificadas. Respostas sem justificativas não serão aceitas. Escolha apenas 5 questões para resolver. Se mais questões forem resolvidas, apenas as resoluções das 5 primeiras serão consideradas.
A função f(x)=e^x-4 cdot x^2 tem uma raiz no intervalo (0,1). Tomando x0=0,5 e critério de parada |f(xk)|<10^-3, encontre um valor aproximado para esta raiz utilizando o método de Newton. Use 4 casas depois da vírgula e arredondamento.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar a raiz da função
f(x) = e^x - 4x^2
no intervalo xk+1 = xk - f(xk)f'(xk) , usando o método de Newton com chute inicial e critério de parada .
Isso é um exercício de “Métodos Numéricos” (ou “Análise Numérica”), mais precisamente sobre “Método de Newton” para achar raízes.
Pra resolver, vamos precisar de:
  1. A derivada .
  2. A fórmula do Newton:

Passo 2

Primeiro, calculemos a derivada:
f'(x) = ddxl(e^x - 4x^2r) = e^x - 8x
Então a regra de iteração é
xk+1 = xk - e^xk - 4xk^2e^xk - 8xk

Passo 3

Iteração 1 (de f(0,5) = e^0.5 - 4,(0.5)^2 approx 1,6487 - 1 = 0,6487, para f'(0,5) = e^0.5 - 8cdot0.5 approx 1,6487 - 4 = -2,3513 ):
  1. Calcular x1 = 0,5 - 0,6487-2,3513 approx 0,7759 e :
  1. Aplicar Newton:

Passo 4

Iteração 2 (de f(0,7759) approx e^0.7759 - 4,(0.7759)^2 approx 2,1720 - 2,4080 = -0,2360, para f'(0,7759) approx e^0.7759 - 8cdot0.7759 approx 2,1720 - 6,2072 = -4,0352 ):
  1. Calcular x2 = 0,7759 - -0,2360-4,0352 approx 0,7174 e :
  1. Aplicar Newton:

Passo 5

Iteração 3 (de f(0,7174) approx e^0.7174 - 4,(0.7174)^2 approx 2,0492 - 2,0588 = -0,0096, para f'(0,7174) approx e^0.7174 - 8cdot0.7174 approx 2,0492 - 5,7392 = -3,6900 ):
  1. Calcular x3 = 0,7174 - -0,0096-3,6900 approx 0,7147 e :
  1. Aplicar Newton:

Passo 6

Verificamos o critério:
l|f(0,7147)r| approx l|,0,0006,r| = 6times10^-4 < 10^-3,
ou seja, já atingimos a precisão pedida.

Resposta

A raiz aproximada é .

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