O resultado do cálculo da integral complexa ointC 3 z+5z^2+1 d z onde C é a circunferência |z+2 i|=2 é dado por
a) 6 pi i
b) pi(3 i+5)
c) 32 ln |z^2+1|+5 arctan (z)
d) pi(3 i-5)

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem:
A gente quer calcular a integral complexa
ointC 3z + 5z^2 + 1,dz
onde é a circunferência de centro e raio , ou seja .
Conteúdo: Teorema dos Resíduos em Cálculo Complexo.
O que vamos precisar:
  • Identificar os polos de .
  • Ver quais desses polos estão dentro de .
  • Calcular o resíduo no polo que estiver dentro.
  • Aplicar o Teorema dos Resíduos: í.

Passo 2

Primeiro, os polos da função z = i e z = -i são as raízes de , ou seja

Passo 3

Agora, veja quem está dentro da circunferência |,i - (-2i),| = |3i| = 3 > 2, .
  • Para |,(-i) - (-2i),| = |,i,| = 1 < 2, : a distância até o centro é então está fora de .
  • Para : a distância é logo está dentro de .
Só temos um polo dentro: .

Passo 4

A gente precisa do resíduo em Resl(f,z0r) = limzto z0(z-z0)3z+5z^2+1 . Como é um polo simples, dá pra usar
Res(f,z0) = g(z0)h'(z0)
Mas também dá pra lembrar que, se Resl(3z+5z^2+1,-ir) = -3i+5-2i = 5-3i-2i = 3+5i2 e , , então
Aqui e .
  • .
  • , então .
Logo

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos:
ointC 3z+5z^2+1,dz = 2pi i ;times; 3+5i2 = pi i,(3+5i)
Agora é só distribuir:
pi i,(3+5i) = 3pi i + 5pi i^2 = 3pi i - 5pi = pi,(3i - 5)

Resposta

(alternativa d) )

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