O resultado do cálculo da integral complexa
onde
é a circunferência
é dado por
a)
b)
c)
d)
pi(3 i-5)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem:
A gente quer calcular a integral complexa
A gente quer calcular a integral complexa
onde
é a circunferência de centro
e raio
, ou seja
.
Conteúdo: Teorema dos Resíduos em Cálculo Complexo.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Teorema dos Resíduos em Cálculo Complexo.
O que vamos precisar:
- Identificar os polos de
. - Ver quais desses polos estão dentro de
. - Calcular o resíduo no polo que estiver dentro.
- Aplicar o Teorema dos Resíduos:
.í
Passo 2
Primeiro, os polos da função
z = i e z = -i são as raízes de
, ou seja
Passo 3
Agora, veja quem está dentro da circunferência
|,i - (-2i),| = |3i| = 3 > 2, .
- Para
: a distância até o centro|,(-i) - (-2i),| = |,i,| = 1 < 2, é então está fora de . - Para
: a distância é logo está dentro de .
Só temos um polo dentro:
.
Passo 4
A gente precisa do resíduo em
Resl(f,z0r) = limzto z0(z-z0)3z+5z^2+1 . Como é um polo simples, dá pra usar
Mas também dá pra lembrar que, se
Resl(3z+5z^2+1,-ir) = -3i+5-2i = 5-3i-2i = 3+5i2 e
,
, então
Aqui
e
.
-
. -
, então .
Logo
Passo 5
Pelo Teorema dos Resíduos:
Agora é só distribuir: