Sejam q(x) um polinômio de grau n e x0, x1, ldots, xm pontos distintos. Mostre que se interpolarmos q(x), relativamente aos pontos x0, x1, ldots, xm, por um polinômio p(x)=a0+a1 x+ldots+am x^m, onde m >= n, obteremos p(x)=q(x).

Passo 1

Resumo rápido do enunciado:
Temos um polinômio de grau e pontos distintos com . Queremos interpolar nesses mesmos pontos por um polinômio de grau no máximo , e mostrar que esse que achamos na verdade é o próprio .
Conteúdo necessário:
  • Teoria de interpolação polinomial (Lagrange, existência e unicidade).
  • Propriedade fundamental: um polinômio de grau ≤ só pode ter no máximo raízes, a não ser que seja o polinômio zero.

Passo 2

Definimos a diferença
r(x) ;=; p(x);-;q(x)
Repara que
  1. r(xi)=p(xi)-q(xi)=0 e , logo .
  2. Para cada ponto , como foi construído pra interpolar , temos
Ou seja, tem pelo menos raízes distintas.

Passo 3

Pela propriedade de que um polinômio de grau ≤ r(x)equiv 0 não pode ter mais do que p(x)-q(x)=0forall x Longrightarrow p(x)=q(x) raízes a não ser que ele seja o polinômio identicamente nulo, concluímos que
Isso significa que

Resposta

Portanto, ao interpolar boxedp(x)=q(x) em pontos distintos com um polinômio de grau , de fato obtemos

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