Sejam
um polinômio de grau
e
pontos distintos. Mostre que se interpolarmos
, relativamente aos pontos
, por um polinômio
, onde
, obteremos
.
Passo 1
Resumo rápido do enunciado:
Temos um polinômio de grau
e
pontos distintos
com
. Queremos interpolar
nesses mesmos pontos por um polinômio
de grau no máximo
, e mostrar que esse
que achamos na verdade é o próprio
.
Conteúdo necessário:
Temos um polinômio
Conteúdo necessário:
- Teoria de interpolação polinomial (Lagrange, existência e unicidade).
- Propriedade fundamental: um polinômio de grau ≤
só pode ter no máximo raízes, a não ser que seja o polinômio zero.
Passo 2
Definimos a diferença
Repara que
-
e , logo . - Para cada ponto
, como foi construído pra interpolar , temos
Ou seja,
tem pelo menos
raízes distintas.
Passo 3
Pela propriedade de que um polinômio de grau ≤
não pode ter mais do que
raízes a não ser que ele seja o polinômio identicamente nulo, concluímos que
Isso significa que
Resposta
Portanto, ao interpolar
em
pontos distintos com um polinômio de grau
, de fato obtemos