Seja f(x)=(x+1)^5+e^2 x. Estime um limitante para o erro de interpolação em x=0.5 quando usa o polinômio interpolador nos pontos base x0=0, x1=0.2, x3=0.4, x4=0.6. Agora estime o limitante de erro para todo x no intervalo [0,0.6], com mesmo pontos base.

Passo 1

Estamos interpolando a função f(x)=(x+1)^5+e^2x por um polinômio de grau 3 nos pontos x0=0, x1=0.2, x2=0.4 e x3=0.6. O que queremos é um limitante para o erro de interpolação em x=0.5 e depois para todo xin[0,0.6]. Para isso vamos usar o termo de resto de Lagrange e só precisamos de uma cota M para a derivada de ordem 4 de f.

Passo 2

O erro de interpolação pelo polinômio de grau 3 em um ponto x é dado por
R3(x)=f^(4)(xi)4!(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)
para algum xi entre os pontos base. Então precisamos achar
f^(4)(x) e uma cota M>=|f^(4)(x)| em [0,0.6].

Passo 3

Calculando a quarta derivada:
f(x)=(x+1)^5+e^2x
f^(4)(x)=d^4dx^4(x+1)^5+d^4dx^4e^2x=120(x+1)+16e^2x
Em [0,0.6] temos x+1<=1.6 e e^2x<= e^1.2approx3.32, logo
|f^(4)(x)|<=120cdot1.6+16cdot3.32approx192+53.1=245.1=:M

Passo 4

Para x=0.5 o fator
omega(x)=(x-0)(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6) vale
|omega(0.5)|=|0.5times0.3times0.1times(-0.1)|=0.0015
Assim
|R3(0.5)|<=M4!,|omega(0.5)|=245.124times0.0015approx0.0153

Passo 5

Para todo xin[0,0.6] vamos achar o máximo de
|omega(x)|=|x(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)|
Fazendo a mudança de variável t=x-0.3, estuda-se a função
(t+0.3)(t+0.1)(t-0.1)(t-0.3) em tin[-0.3,0.3] e descobre-se que o valor máximo absoluto é
0.0016.
Logo
max[0,0.6]|R3(x)|<=245.124times0.0016approx0.0163

Resposta

Erro em x=0.5: aproximadamente 0.0153
Erro máximo em [0,0.6]: aproximadamente 0.0163

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