Seja
. Estime um limitante para o erro de interpolação em
quando usa o polinômio interpolador nos pontos base
. Agora estime o limitante de erro para todo
no intervalo
, com mesmo pontos base.
Passo 1
Estamos interpolando a função
por um polinômio de grau 3 nos pontos
,
,
e
. O que queremos é um limitante para o erro de interpolação em
e depois para todo
. Para isso vamos usar o termo de resto de Lagrange e só precisamos de uma cota
para a derivada de ordem 4 de
.
Passo 2
O erro de interpolação pelo polinômio de grau 3 em um ponto
é dado por
para algum
entre os pontos base. Então precisamos achar
e uma cota
em
.
Passo 3
Calculando a quarta derivada:
Em
temos
e
, logo
Passo 4
Para
o fator
vale
Assim
Passo 5
Para todo
vamos achar o máximo de
Fazendo a mudança de variável , estuda-se a função
em
e descobre-se que o valor máximo absoluto é
.
Logo
Fazendo a mudança de variável
Logo
Resposta
Erro em x=0.5: aproximadamente 0.0153
Erro máximo em [0,0.6]: aproximadamente 0.0163
Erro máximo em [0,0.6]: aproximadamente 0.0163