Seja
.
(a) Qual o grau do polinômio interpolador de
nos pontos
,
e
?
(b) Ao interpolarmos
nos pontos
, obteremos um polinômio interpolador distinto do obtido em (a)? Justifique.
(a) Qual o grau do polinômio interpolador de
(b) Ao interpolarmos
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) o grau do polinômio interpolador de nos pontos
;
(b) se ao interpolarmos nos pontos
obteremos um polinômio diferente do caso (a).
O conteúdo aqui é o Teorema da existência e unicidade do polinômio interpolador e a propriedade de que, se já é um polinômio de grau
, então o interpolador de grau
coincide com
.
(a) o grau do polinômio interpolador de
(b) se ao interpolarmos
O conteúdo aqui é o Teorema da existência e unicidade do polinômio interpolador e a propriedade de que, se
Passo 2
Teorema de interpolação polinomial: dado um conjunto de
pontos com abscissas distintas, existe um único polinômio
de grau no máximo
que interpola esses pontos. Além disso, se a função a interpolar é ela própria um polinômio de grau
, então esse polinômio interpolador é exatamente a própria função.
Passo 3
Para (a) temos 5 pontos
, logo o interpolador tem grau no máximo
. Mas
é um polinômio de grau
, de modo que o interpolador em 5 pontos coincide com
. Portanto o grau do polinômio obtido é
Passo 4
Para (b) usaríamos 11 pontos
, e o interpolador teria grau no máximo
. Ainda assim, como
é grau
, o interpolador que passa por esses 11 pontos coincidirá novamente com
. Logo não há diferença entre os dois interpoladores: ambos são exatamente
.
Resposta
(a)
(b) Não. Como é polinômio de grau
, o interpolador em qualquer conjunto de pelo menos 4 pontos distintos será sempre
mesma; assim o polinômio obtido é igual em (a) e em (b).
(b) Não. Como