Seja f(x)=x^{3}+x^{2}+x+1.
(a) Qual o grau do polinômio interpolador de f(x) nos pontos x_{0}=-2, x_{1}=-1, x_{2}=0, x_{3}=1 e x_{4}=2 ?
(b) Ao interpolarmos f(x) nos pontos t_{0}=0, t_{1}=1, \ldots, t_{10}=10, obteremos um polinômio interpolador distinto do obtido em (a)? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^{3}+x^{2}+x+1
e pede:
(a) o grau do polinômio interpolador de f nos pontos x_{0}=-2,\dots,x_{4}=2;
(b) se ao interpolarmos f nos pontos t_{0}=0,t_{1}=1,\dots,t_{10}=10 obteremos um polinômio diferente do caso (a).
O conteúdo aqui é o Teorema da existência e unicidade do polinômio interpolador e a propriedade de que, se f já é um polinômio de grau \le n, então o interpolador de grau \le n coincide com f.

Passo 2

Teorema de interpolação polinomial: dado um conjunto de n+1 pontos com abscissas distintas, existe um único polinômio p de grau no máximo n que interpola esses pontos. Além disso, se a função a interpolar é ela própria um polinômio de grau \le n, então esse polinômio interpolador é exatamente a própria função.

Passo 3

Para (a) temos 5 pontos \{x_{0},\dots,x_{4}\}, logo o interpolador tem grau no máximo 4. Mas f é um polinômio de grau 3\le4, de modo que o interpolador em 5 pontos coincide com f. Portanto o grau do polinômio obtido é
\text{grau}(p)=3.

Passo 4

Para (b) usaríamos 11 pontos \{t_{0},\dots,t_{10}\}, e o interpolador teria grau no máximo 10. Ainda assim, como f é grau 3\le10, o interpolador que passa por esses 11 pontos coincidirá novamente com f. Logo não há diferença entre os dois interpoladores: ambos são exatamente f(x)=x^3+x^2+x+1.

Resposta

(a) 3
(b) Não. Como f é polinômio de grau 3, o interpolador em qualquer conjunto de pelo menos 4 pontos distintos será sempre f mesma; assim o polinômio obtido é igual em (a) e em (b).

Exercícios relacionados