Suspeita-se que o alto conteúdo de tanino existente nas folhas maduras do carvalho inibe o crescimento das larvas da mariposa de inverno, que danifica severamente essas árvores em certos anos. A tabela seguinte relaciona o peso médio de duas amostras de larvas com 28 dias de nascimento. A primeira amostra foi cultivada em folhas de carvalho novas, e a se-
gunda amostra em folhas maduras da mesma árvore. Use a interpolação de Lagrange para aproximar a curva de peso médio de cada amostra.
Dia 0 6 10 13 17 20 28
Peso médio da amostra 1 (mg) 6,67 17,33 42,67 37,33 30,10 29,31 28,74
Peso médio da amostra 2 (mg) 6,67 16,11 18,89 15,00 10,56 9,44 8,89

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem duas amostras de larvas de mariposa, cada uma cultivada em folhas de carvalho (novas e maduras), e em vários dias mediram o peso médio. O objetivo é achar um polinômio que passe por todos esses pontos para cada amostra, ou seja, interpolar esses dados usando o método de Lagrange. Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange. O que precisaremos: a fórmula do polinômio de Lagrange e montar os “L_i(x)” para cada ponto.

Passo 2

Teoria – interpolação de Lagrange:
Se temos n+1 pontos (x0,y0),dots,(xn,yn), o polinômio interpolador de grau ≤n é
P(x);=;sumi=0^n yi,Li(x),
onde cada base de Lagrange é
Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^nx - xjxi - xj
A ideia é que Li(xj)=de (1 se i=j, 0 caso contrário), garantindo que P(xk)=yk.

Passo 3

Montando para a amostra 1 (grau 6, pois temos 7 pontos):
Chamemos os dias x0=0,x1=6,x2=10,x3=13,x4=17,x5=20,x6=28 e os pesos y0=6,67,;y1=17,33,dots,y6=28,74.
Então
P1(x)=sumi=0^6 yi;Li(x),
com
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^6x - xjxi - xj
Por exemplo,
L0(x)=(x-6)(x-10)(x-13)(x-17)(x-20)(x-28)(0-6)(0-10)(0-13)(0-17)(0-20)(0-28),
e assim por diante até L6(x).

Passo 4

Agora a amostra 2: mesmo esquema, com os mesmos xi e novos yi:
y0=6,67,;y1=16,11,;y2=18,89,;y3=15,00,;y4=10,56,;y5=9,44,;y6=8,89.
O polinômio é
P2(x)=sumi=0^6 yi,Li(x),
onde os Li(x) são os mesmos do passo anterior (depende só dos xj).

Resposta

Os polinômios que aproximam as curvas de peso são:
Para a amostra 1, de grau 6:
P1(x)=sumi=0^6 y1,i;g[prodsubstackj=0jneq i^6x - xjxi - xjg],
onde (x0,dots,x6)=(0,6,10,13,17,20,28) e (y1,0,dots,y1,6)=(6,67,17,33,42,67,37,33,30,10,29,31,28,74).
Para a amostra 2, também de grau 6:
P2(x)=sumi=0^6 y2,i;g[prodsubstackj=0jneq i^6x - xjxi - xjg],
onde (y2,0,dots,y2,6)=(6,67,16,11,18,89,15,00,10,56,9,44,8,89).
Esses dois polinômios são a interpolação de Lagrange que modela as curvas de peso médio em função do dia.

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