Suspeita-se que o alto conteúdo de tanino existente nas folhas maduras do carvalho inibe o crescimento das larvas da mariposa de inverno, que danifica severamente essas árvores em certos anos. A tabela seguinte relaciona o peso médio de duas amostras de larvas com 28 dias de nascimento. A primeira amostra foi cultivada em folhas de carvalho novas, e a se-
gunda amostra em folhas maduras da mesma árvore. Use a interpolação de Lagrange para aproximar a curva de peso médio de cada amostra.
Dia
0
6
10
13
17
20
28
Peso médio da amostra 1 (mg)
6,67
17,33
42,67
37,33
30,10
29,31
28,74
Peso médio da amostra 2 (mg)
6,67
16,11
18,89
15,00
10,56
9,44
8,89
gunda amostra em folhas maduras da mesma árvore. Use a interpolação de Lagrange para aproximar a curva de peso médio de cada amostra.
Dia | 0 | 6 | 10 | 13 | 17 | 20 | 28 |
Peso médio da amostra 1 (mg) | 6,67 | 17,33 | 42,67 | 37,33 | 30,10 | 29,31 | 28,74 |
Peso médio da amostra 2 (mg) | 6,67 | 16,11 | 18,89 | 15,00 | 10,56 | 9,44 | 8,89 |
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem duas amostras de larvas de mariposa, cada uma cultivada em folhas de carvalho (novas e maduras), e em vários dias mediram o peso médio. O objetivo é achar um polinômio que passe por todos esses pontos para cada amostra, ou seja, interpolar esses dados usando o método de Lagrange. Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange. O que precisaremos: a fórmula do polinômio de Lagrange e montar os “L_i(x)” para cada ponto.
Passo 2
Teoria – interpolação de Lagrange:
Se temos n+1 pontos , o polinômio interpolador de grau ≤n é
Se temos n+1 pontos
onde cada base de Lagrange é
A ideia é que
(1 se
, 0 caso contrário), garantindo que
.
Passo 3
Montando para a amostra 1 (grau 6, pois temos 7 pontos):
Chamemos os dias e os pesos
.
Então
Chamemos os dias
Então
com
Por exemplo,
e assim por diante até
Passo 4
Agora a amostra 2: mesmo esquema, com os mesmos
e novos
:
.
O polinômio é
O polinômio é
onde os
Resposta
Os polinômios que aproximam as curvas de peso são:
Para a amostra 1, de grau 6:
onde
e
.
Para a amostra 2, também de grau 6:
onde
.
Esses dois polinômios são a interpolação de Lagrange que modela as curvas de peso médio em função do dia.