Seja
Determine
Passo 1
Enunciado: Seja
Precisamos achar
Conteúdo: limites que dão indeterminação do tipo
, uso da Regra de L’Hospital e derivadas de funções trigonométricas (,
).
Passo 2
Primeiro, vale verificar se é mesmo
. Definindo
temos
Logo é uma forma
, então podemos aplicar a Regra de L’Hospital:
Passo 3
Calcular as derivadas:
$$g’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\cos x\bigr)-\frac{d}{dx}(\sen x)
=\bigl(\cos x - x\sen x\bigr)-\cos x=-x\sen x,$$
$$h’(x)=\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(\sen x)
=1-\cos x.
\lim_{x\to0}f(x)
=\lim_{x\to0}\frac{-x\sen x}{,1-\cos x,},. $$
Passo 4
Ainda é
ao substituir
, pois e
. Reaplicamos L’Hospital:
Derivada do numerador
Derivada do numerador
Derivada do denominador
Logo
$$\lim_{x\to0}f(x)
=\lim_{x\to0}\frac{-\sen x - x\cos x}{\sen x},. $$
Passo 5
Separamos a fração:
Quando
, temos e
, então