Seja
f(x)=x cos x-sen xx-sen x
Determine lim x 0 f(x)

Passo 1

Enunciado: Seja

Precisamos achar
f(x)=xcos x-sen x,x-sen x,
Conteúdo: limites que dão indeterminação do tipo limxto0f(x), , uso da Regra de L’Hospital e derivadas de funções trigonométricas (, 0/0).

Passo 2

Primeiro, vale verificar se é mesmo 0/0. Definindo

temos
g(x)=xcos x-sen x, h(x)=x-sen x,
Logo é uma forma g(0)=0cdot1-0=0, h(0)=0-0=0, então podemos aplicar a Regra de L’Hospital:
0/0

Passo 3

Calcular as derivadas:
$$g’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\cos x\bigr)-\frac{d}{dx}(\sen x)
=\bigl(\cos x - x\sen x\bigr)-\cos x=-x\sen x,$$
$$h’(x)=\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(\sen x)
=1-\cos x. g'(x)=ddxl(xcos xr)-ddx(sen x) =l(cos x - xsen xr)-cos x=-xsen x,ã\lim_{x\to0}f(x)
=\lim_{x\to0}\frac{-x\sen x}{,1-\cos x,},. $$

Passo 4

Ainda é 0/0 ao substituir x=0, pois e -xsen xto0. Reaplicamos L’Hospital:
Derivada do numerador

Derivada do denominador
Logo
$$\lim_{x\to0}f(x)
=\lim_{x\to0}\frac{-\sen x - x\cos x}{\sen x},. $$

Passo 5

Separamos a fração:
Quando -sen x - xcos xsen x =-sen xsen x-xcos xsen x =-1-xcos xsen x, , temos e xto0, então

Resposta

limxto0f(x)=-2,

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