Utilize as decomposições A=L U da questão 9 para resolver os seguintes sistemas:
a) (cc16 & 5 1 & 2)binomx1x2=binomb1b2 para b=(ll21,0 & 3)^t e b=(ll1,0 & 0,0)^t
b) (ccc2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11)(lx1 x2 x3)=(lb1 b2 b3) para b=(lll3 & 11 & 15)^t e b=(lll1 & 1 & 1)^t

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar a decomposição LU de duas matrizes A para resolver os sistemas Ax = b para dois vetores b diferentes em cada caso.
Conteúdo:
  • Decomposição LU (A = L·U, com L triangular inferior e U triangular superior)
  • Substituições direta (para Ly = b) e regressiva (para Ux = y)
O que precisamos:
  1. Calcular L e U de cada A (se não vier de “questão 9”, a gente recalcula).
  2. Resolver Ly = b por substituição “de cima para baixo”.
  3. Resolver Ux = y por substituição “de baixo para cima”.

Passo 2

a) Matriz A₂×₂ = 16&51&2.
  1. Decompondo A = L·U:
    L = 1&0 ell21&1,
    U = u11&u120&u22.
    • L=1&0[6pt]tfrac116&1, U=16&5[3pt]0&tfrac2716 .
    • y1=21, y2=3 - tfrac116cdot21 = tfrac2716 .
    • tfrac2716,x2 = tfrac2716 Rightarrow x2=1, 16,x1 +5cdot1 = 21 Rightarrow x1=1
    Logo
    y1=1, y2=0 - tfrac116cdot1 = -tfrac116
  2. Para tfrac2716,x2 = -tfrac116 Rightarrow x2=-tfrac127, 16,x1 +5l(-tfrac127r)=1 Rightarrow x1=tfrac227 :
    a) Resolver :
    b) Resolver :
    Solução: .
  3. Para :
    a) :
    b) :
    Solução: .

Passo 3

b) Matriz A₃×₃ = 2&1&01&6&40&4&11.
  1. Decompondo A = L·U:
    • L= 1&0&0[3pt] tfrac12&1&0[3pt] 0&tfrac811&1 , U= 2&1&0[3pt] 0&tfrac112&4[3pt] 0&0&tfrac8911
    • y1=3, y2=11 - tfrac12cdot3 = tfrac192, y3=15 - tfrac811,tfrac192 = tfrac8911
      Atualiza linha 2:
      tfrac8911x3 = tfrac8911 Rightarrow x3=1, tfrac112x2 + 4cdot1 = tfrac192 Rightarrow x2=1, 2x1 +1cdot1 = 3 Rightarrow x1=1
      Logo y1=1, y2=1 - tfrac12cdot1 = tfrac12, y3=1 - tfrac811,tfrac12 = tfrac711
    • tfrac8911x3 = tfrac711 Rightarrow x3=tfrac789, tfrac112x2 +4,tfrac789 = tfrac12 Rightarrow x2=tfrac389, 2x1 +1cdottfrac389 = 1 Rightarrow x1=tfrac4389
      Atualiza linha 3:

      Então
  2. Para :
    a) :
    b) :
    Solução: .
  3. Para :
    a) :
    b) :
    Solução: .

Resposta

a) Para A₂×₂:
  • :
  • :
b) Para A₃×₃:
  • :
  • :

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